Стационарные и нестационарные случайные процессы
Стационарным случайным процессом в узком смысле называется случайный процесс, у которого n-мерная плотность вероятности не изменится, если все отсчеты времени сместить на одну и ту же величину:
(2.7)
Если выбрать , то n-мерная плотность вероятности не будет зависеть от начала отсчета времени
(2.8)
Таким образом, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности вообще не зависит от времени, а двумерная плотность зависит не в отдельности от t1 и t2 , а от их разности
(2.9)
(2.10)
В свою очередь, из выражений (2.9) и (2.10) вытекает, что математическое ожидание и дисперсия стационарного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит от t:
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Из (2.11), (2.12) и (2.13) следует, что математическое ожидание постоянно и поэтому для стационарного процесса характеризует постоянную составляющую процесса; постоянность характеризует то, что в каждой точке времени t средняя удельная мощность флюктуаций (то есть мощность переменной составляющей) одна и та же; зависимость от означает, что для стационарного процесса неважно, в каких точках t1 и t2 берутся сечения, важна разность между ними .
Если условие (2.7) не выполняется, то случайный процесс называется нестационарным. Иногда о стационарности судят только по выполнению равенств (2.9), (2.10) и, соответственно, (2.11) - (2.13). Говорят, что, если выполняются равенства (2.9) и (2.10), то процесс является стационарным, не интересуясь при этом, выполняется условие (2.7) или нет. Такой подход дает более широкое толкование стационарности.
Определение стационарного процесса в широком смысле является более приемлемым для решения практических задач, так как проще получать данные об одномерной и двумерной плотностях вероятности, чем о многомерной.
В строгом смысле физически не существует стационарных случайных процессов, так как любой процесс должен начаться в определенный момент времени в прошлом и, вероятно, завершиться в некоторый момент в будущем. Однако есть много физических ситуаций, когда статистические характеристики процесса не изменяются на интервале времени наблюдения. В этих случаях предположение о стационарности приводит к удобной математической модели, которая является достаточно точной аппроксимацией реальной ситуации.
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 2758;