Способы описания случайных процессов
Существуют два способа представления случайных процессов. Во первых, случайный процесс представляется в виде совокупности или ансамбля всех своих возможных реализаций. То, какая конкретно реализация будет наблюдаться в испытании, является случайным событием. На рис. 2.2,а показан случайный процесс , в ансамбль которого входят три реализации x1(t), x2(t), x3(t), наблюдаемые в испытании с определенными вероятностями. Во вторых, случайный процесс рассматривается как n-мерная случайная величина или n-мерный вектор ( , ,..., ), каждая проекция которого является отсчетом случайного процесса в моменты времени t1,t2,...,tn (рис.2.2,б). Эти проекции вектора или отсчеты процесса будем называть сечениями случайного процесса:
(2.1)
Сечения (2.1) являются случайными величинами, так как из-за случайного выбора реализации их конкретные значения до опыта неизвестны. На рис. 2.2. пунктиром показан возможный ход случайного процесса и соответственно случайные величины , ,..., на осях возможных значений
При достаточно большом п задание процесса n-мерным вектором эквивалентно заданию самого процесса. В теории случайных процессов доказывается, что для используемых на практике процессов число n конечно. Этот вывод базируется на том, что реализации случайного процесса имеют ограниченную ширину спектра.
Рис. 2.2
Представление случайного процесса n-мерным вектором позволяет свести вероятностное описание процесса к описанию n-мерной случайной величины. Рассмотрим функцию распределения, плотность вероятности и числовые характеристики непрерывного случайного процесса, представленного n-мерным вектором.
В соответствии с этим n-мерная функция распределения случайного процесса определится выражением
(2.2)
Выражение (2.2) показывает, что в общем случае зависит от 2n аргументов: от n наперед заданных возможных значений сечений ( ) и от п моментов времени (t1, t2, ..., tn), в которых эти сечения берутся.
Многомерная плотность вероятности по определению равна частной производной n-го порядка от функции распределения по возможным значениям
(2.3)
Плотность вероятности n-го порядка в общем случае также зависит от тех же 2п аргументов. Произведение двумерной плотности вероятности на dx1dx2
характеризует вероятность того, что реализация x(t) случайного процесса в моменты времени t1, t2 пройдет через интервалы . Это означает, что двумерная плотность вероятности содержит сведения о связи между двумя сечениями случайного процесса, проведенными в моменты t1 и t2.
Одномерная плотность вероятности , где х1 = х, t1 = t определяет закон распределения случайной величины, полученной в результате сечения случайного процесса в момент t1= t. Индекс 1 у времени и возможного значения здесь опускается, потому что сечение одно и надобность в индексе отпадает.
Представление случайного процесса n-мерным вектором позволяет получить такие числовые характеристики случайного процесса, как математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Эти характеристики, являющиеся соответственно начальными моментами первого порядка, центральным моментом второго порядка, смешанным центральным моментом второго порядка, зависят от моментов времени, в которые берутся сечения случайного процесса, и поэтому являются моментными функциями времени.
Математическое ожидание и дисперсия требуют для своего определения использование одномерной плотности вероятности:
(2.4)
(2. 5)
Для определения корреляционной функции требуется использование двумерной плотности вероятности
. (2.6)
Математическое ожидание определяет траекторию положения координаты центра тяжести одномерной плотности вероятности. Дисперсия характеризует изменение значения средней удельной мощности флуктуаций процесса во времени. Корреляционная функция характеризует случайный процесс с двух сторон: с одной стороны определяет среднею удельную мощность флуктуаций, а с другой – устанавливает степень линейной связи между сечениями случайного процесса, взятыми соответственно в моменты времени t1 и t2.
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 2332;