Особенности анализа линейных систем при случайных воздействиях

Линейной системой называют систему, для ко­торой применим принцип суперпозиции, состоящий в том, что отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воз­действие. Различают линейные системы с сосредоточенными и распре­деленными, постоянными и переменными параметрами. В дальнейшем для определенности будем рассматривать линейные системы с сосре­доточенными постоянными параметрами. Примером такой системы явля­ется линейная цепь, составленная из элементов, параметры которых (сопротивление R, индуктивность L, ёмкость С) постоянны.

Основная задача анализа линейной электрической цепи состоит в нахождении отклика y(t) цепи на произвольное воздействие x(t). Связь между x = x(t) и y = y(t) в общем виде устанавливается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

(4.1)

решение которого при заданных начальных условиях определяет явную функциональную связь между x(t) и y(t). При этом порядок уравне­ния и величины коэффициентов определяются схемой цепи.

Уравнение (4.1) устанавливает связь между x(t) и y(t) в неявной форме. Чтобы получить явную форму связи, необходимо ре­шить уравнение (4.1) для каждого конкретного воздействия. Эту трудность можно обойти в том смысле, если решить это уравнение один раз для воздействия в виде дельта-функции x(t) = (t). Полу­ченное решение, в данном случае определяет импульсную характерис­тику цепи y(t) = h(t).

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством:

Пусть имеется некоторая непрерывная функция f(t), тогда

.

Импульсная характеристика h(t) – это отклик линейной цепи при нулевых начальных условиях на воздействие в виде дельта-функции. Зная h(t), можно записать от­клик y(t) в виде интеграла свертки h(t) с x(t):

(4.2)

или в другой форме

, (4.3)

где предполагается, что воздействие x(t) подано на вход цепи в момент t = 0, то есть нижний предел интегрирования соответствует моменту подачи входного воздействия, а верхний предел интегриро­вания t соответствует моменту, при котором ищется отклик y(t), t > 0.

Выражения (4.1), (4.2), (4.3) справедливы в полной мере, если x(t) есть реализация случайного процесса (t). В этом случае эти выражения позволяют найти реализацию y(t) как отклика на кон­кретную реализацию x(t).

Если же в формулах (4.1), (4.2), (4.3) на место x(t) пос­тавить входной случайный процесс = (t), то на выходе, то есть на месте y(t), будет выходной случайный процесс = (t). Тогда ука­занные формулы:

(4.4)

(4.5)

(4.6)

устанавливают только функциональную связь между (t) и (t). Осо­бенность заключается в том, что эти формулы не могут использо­ваться для нахождения (t), так как (t) не задаётся конкретной функцией, а представляет собой совокупность реализаций, одна из которых проявляется. Но эти формулы служат для решения основной задачи анализа линейной цепи при случайных воздействиях, заключа­ющейся в нахождении вероятностных характеристик выходного случай­ного процесса (t), если известны вероятностные характеристики входного случайного воздействия и определена цепь посредством задания порядка и коэффициентов дифференциального уравнения или импульсной характеристики. Так как все зависимости (t), (t), h(t) в формулах (4.4), (4.5), (4.6) заданы во временной облас­ти, то анализ цепи с их использованием определяет вероятностный анализ линейных систем во временной области.

4.2. Вычисление математического ожидания и корреляционной функции на выходе линейной системы

Пусть линейная цепь задана своей импульсной характеристикой h(t). На вход цепи, начиная с момента времени t = 0, подаётся нестационарный про­цесс с математическим ожиданием (t) и корреляционной функцией . Требуется найти математическое ожидание (t) и корре­ляционную функцию выходного процесса (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Пусть связь между (t) и (t) определяется в соответствии с формулой (4.5) выражением

В этом случае имеем

так что

(4.7)

где символ интегрирования по времени вынесен за знак оператора математического ожидания <•>, который определяет также интегрирование, но по ансамблю, а интегралы, определяющие интегрирование по различным аргументам, можно менять местами. Кроме того, множитель вынесен за оператор <•> как детерми­нированный. Таким образом, внутри оператора <•> остался только множитель , означающий входной случайный процесс, при этом

Из выражения (4.7) следует, что математическое ожидание (t) определяется в виде формулы интеграла свертки (4.7).

Если процесс (t) стационарный, то (t) = = const и спра­ведливо соотношение

(4.8)

из которого следует, что (t) пропорционально переходной харак­теристике линейной цепи, так как g(t) есть переходная характерис­тика цепи, определяющая отклик цепи на входное воздействие в виде единичной функции. Если входной процесс имеет =0, то выходной процесс имеет нулевое математическое ожидание, m=0. Если же m = const и отлично от нуля, то при выполнении условия

где a = const,

выходной процесс после затухания переходного процесса, вызванного включением стационарного процесса на входе, становится стационар­ным с математическим ожиданием, равным

Для нахождения воспользуемся формулой (4.6):

. (4.9)

В этом случае связь между (t) и (t) запишется в виде

(4.10)

Из левой и правой части равенства (4.9) вычтем соответственно левую и правую части равенства (4.10). После преобразования получим

(4.11)

где

В свою очередь, по определению имеем

(4.12)

Подставив формулу (4.11) в выражение (4.12) и применив те же приемы, что и при вычислении математического ожидания (4.7), получим