Понятие функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты остаются справедливыми для функций произвольного числа переменных.

Пусть дано множество , и пусть указано правило (закон), по которому каждой точке ставится в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Функцию иногда записывают в виде .

Пример. На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .

Графиком функции называют множество точек пространства . Обычно графиком функции является некоторая поверхность.

Расстоянием между двумя произвольными точками и евклидова пространства называется число , определяемое формулой:

.

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностью радиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ).

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.

Замечание. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение. Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества .

Пример. Если , то . При этом .

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Замечание. Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку .