Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных

 

Определение. Пусть в некоторой области задана функция . Возьмем произвольную точку из этой области и дадим переменной х приращение . Величина называется частным приращением функции по х.

Рассмотрим отношение:

.

Если существует конечный предел , то он называется частной производнойфункции по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у:

.

Геометрическим смысломчастной производной (например, ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке к сечению поверхности плоскостью .

 

2. Полное приращение и полный дифференциал

Определение. Выражение называется полным приращением функции в точке .

Если функция имеет непрерывные частные производные, то

Применяя теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках, получим:

,

где . Находим

.

Так как частные производные непрерывны в точке , то справедливы равенства:

.

Определение.Выражение называется полным приращениемфункции в точке , где и – бесконечно малые функции при и соответственно.

Определение. Полным дифференциаломфункции называется главная, линейная относительно и часть приращения функции в точке :

Для функции произвольного числа переменных имеем:

.

Пример. Найти полный дифференциал функции .

;

.

Пример. Найти полный дифференциал функции

; ;

.

 








Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 466;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.