Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция и её частные производные и определена в некоторой области D. Если существуют частные производные функций и по и в этой области, то они называются частными производными второго порядка:
Аналогично определяются частные производные более высоких порядков от функции в области
Определение. Частные производные по различным аргументам вида и т.д. называются смешанными производными.
Теорема. Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные и смешанные частные производные второго порядка . Если непрерывны в точке , то они совпадают в этой точке, т.е. в точке выполняется соотношение:
.
Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Её дифференциал
является функцией переменной точки и функций приращений независимых переменных. Будем считать приращения независимых переменных постоянными , тогда дифференциал станет функцией точки и от него, в свою очередь можно брать дифференциал, если этот дифференциал существует.
Определение.Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала:
.
Аналогично определяются дифференциал третьего порядка от функции :
И вообще, дифференциал го порядка от функции :
.
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 481;