Температурный градиент. Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура

Температурное поле

Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура неодинакова. В общем случае процесс распространения теплоты теплопроводностью в теле сопровождается измене­нием температуры, как в пространстве, так и во времени. Температурное состояние тела (или системы тел) можно охарактеризовать с помощью температурного поля.

Температурным полем называют совокупность значений температу­ры во всех точках тела для каждого времени.

Поскольку температура различных точек тела определяется ко­ординатами x, y, z и временем τ, то в общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

(1)

Различают стационарные и нестационарные температурные поля. Если температура в точках тела не изменяется во времени, то такое температурное поле называют стационарным или установившимся, если же температура меняется во времени, то поле называют нестационар­ным или неустановившимся.

Температура в теле может меняться в направлении одной, двух или трех координатных осей. В соответствии с этим различают одно­мерные (линейные), двухмерные (плоскостные) и трехмерные (пространственные) температурные поля.

В соответствии с изложенной классификацией температурных по­лей уравнение (1) описывает трехмерное нестационарное поле.

Уравнение трехмерного стационарного поля имеет вид:

; (2)

Уравнение одномерного нестационарного поля принимает вид:

; (3)

Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационар­ного температурного поля:

; ; (4)

Температурный градиент

Геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру, называется изотермической поверхностью.

Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь различные температуры, то изотермические поверхности не пересекаются, они либо обрываются на поверхности тела, либо замыкаются сами на себя внутри тела. Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм, которые обла­дают теми же свойствами, что и изотермические поверхности.

Рис. 1

На рис.1 приведены изотермы, температуры которых отличаются на Δt. Температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотер­мические поверхности (направление x). При этом наибольший перепад темпера­туры на единицу длины происходит в направлении нормали n к изотермической поверхности. Предел отношения измене­ния температуры Δt к расстоянию между изотермами по нормали Δn при усло­вии, что Δn→ 0 , называют темпе­ратурным градиентом, т.е.

(5)

Температурный градиент - векторная величина. За положительное направление вектора gradt принимается направление по нор­мали к изотермической поверхности в сторону возрастания температу­ры. Скалярную величину gradt мы также будем называть темпера­турным градиентом. Значение gradt не одинаково для различных то­чек изотермической поверхности, оно больше там, где расстояние между изотермическими поверхностями меньше.

Проекции вектора gradt на координатные оси Ox, Oy, Oz равны:

(6)