Условия однозначности для процессов теплопроводности
Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе самого общего закона термодинамики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде, т.е. оно описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс теплопроводности и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя:
1. Геометрические условия, которыми задаются форма и линейные размеры тела.
2. Физические условия, которыми задаются физические параметры тела (λ, с, ρ и др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.
3. Начальные условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени. Начальные условия необходимы лишь при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальные условия аналитически могут быть записаны следующим образом (при τ = 0):
t = ƒ (x, y, z)
При равномерном распределении температуры в теле начальные условия упрощаются (при τ = 0):
t = t0 = const
4. Граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой. Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами.
I) Граничные условия I рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
tn = ƒ (x, y, z, τ)
где tn - температура на поверхности тела (стенки);
x, y, z - координатs поверхности тела.
В частном случае, когда температура на поверхности тела не изменяется во времени, и если она постоянна по поверхности, то
tn= const
2) Граничные условия П рода.
В этом случае задаются значения плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:
qn = ƒ (x, y, z, τ)
где qn - плотность теплового потока на поверхности тела;
x, y, z - координаты поверхности тела.
В простейшем случае, если плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:
q = q0 = const
Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании заготовок в высокотемпературных печах.
3) Граничные условия Ш рода.
В этом случае задается температура окружающей среды (жидкости) tж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой используется закон Ньютона-Рихмана .
Согласно закону Ньютона-Рихмана плотность теплового потока на границе поверхность тела - окружающая среда, пропорциональна разности температур поверхности тела (стенки) tc и окружающей среды tж (при tc > tж).
, (20)
где α- коэффициент теплоотдачи, Вт/м2К, характеризующий интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.
Коэффициент теплоотдачи α численно равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.
Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (по уравнению 20), должно равняться количеству теплоты, подведенному к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (по уравнению 9), т.е.
(21)
индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (стенка).
Окончательно граничное условие Ш рода можно записать в виде
(22)
4) Граничные условия IV рода формируются на основании равенства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения тела с окружающей средой или поверхность соприкосновения трердых тел, по закону теплопроводности, т.е.
(23)
При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру.
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение теплопроводности (16), которое совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитическим, численным или экспериментальным методом. Ниже рассмотрим конкретные задачи процессов теплопроводности в различных телах аналитическим методом.
1.7. Стационарная теплопроводность плоских стенок (q )
Рассмотрим теплопроводность в плоских стенках при стационарном режиме (∂t/∂τ = 0) и отсутствии внутренних источников тепла (qv =0). В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:
(24)
Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 1271;