Формула полной вероятности и формула Байеса

Рассмотрим п попарно несовместных событий H₁, H₂, . . . , H_n. Они образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достовер­ным событием, т.е.

H_i ^. Нj = ? при i ≠ j и H₁ +H₂ + . . . + Н_n = Ω.

Такие события называются гипотезами.

Простейшим примером полной группы событий является произвольное событие А и его дополнение Ā. По теореме сложе­ния вероятностей, для полной группы событий справедливо ра­венство

Р(Н₁) + Р(Н₂) + . . .+ Р(Н_п) =1.

Примеры:

__________________________ _____________________________

1. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Рассмотрим события H₁ = {2, 4, 6, 8, 10}, H₂ = {1, 3}, H₃ = {5, 7, 9}. Они попарно несовместны, а их сумма является дос­товерным событием Ω. Значит, Н₁, H₂, H₃ составляют полную группу событий. Для них Р(Н₁) = 5/10, Р(H₂) = 2/10, Р(Н₃) = 3/10, т.е. сумма их вероятностей равна 1.

2. В лесу растут деревья, среди которых 60 % берез, 10 % елей, и 30 % сосен. [3, c. 16]. Случайным образом выбира­ется для замера одно из деревьев. Обозначим гипотезы: Н₁ – «выбранное дерево – береза», H₂ – «выбранное дерево – ель», H₃ – «выбранное дере­во – сосна». Тогда события H₁, H₂, H₃ – попарно несовместны, Р(Н₁) = 0,6, Р(Н₂) = 0,1, Р(Н₃) = 0,3. Значит, гипотезы H₁, H₂, H₃ составляют полную группу событий. Сумма их вероятностей равна 1.

_______________________________________________________________________________

Пусть события H₁, H₂, . . ., Н_п образуют полную группу собы­тий. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности:

Пример:

_______________________________________________________________________

Рассмотрим предыдущий пример 2. Пусть при замере диаметра деревьев он оказался больше 15 см для 30 % берез, 40 % елей и 70 % сосен. Введем событие А – «диаметр случайно вы­бранного дерева больше 15 см». Найдем вероятность этого собы­тия. По условию примера, условные вероятности события А рав­ны: Р(А/H₁) = 0,3, P(А/H₂) = 0,4, Р (А/H₃) = 0,7. Тогда по формуле полной вероятности имеем:

Р(А) = P(H₁)P (А/H₁) + Р(Н₂)Р(А/H₂) + Р(Н₃)Р(А/H₃) = 0,6 ^. 0,3 + 0,1 ^. 0,4 + 0,3 ^. 0,7 = 0,43.

___________________________________________________________________

В формулу полной вероятности входят вероятности Р(Н₁), Р(Н₂), . . ., Р(Н_n), которые называются априорными. Это вероятности гипотез Н_i , вычисленные до опыта (a priori). Если событие А наступило, то эти вероятности изменяются. Это будут апостериорные условные вероятности, вычисленные после опыта (a posteriori) P(H₁/A), P_A(H₂/A), . . . , P_A(H_n/A). Они могут быть найдены по формуле Байеса:

Пример:___________________________________________________________________________

Пусть в условиях предыдущего примерадиаметр случайно выбранного дерева оказался больше на 15 см, т.е. событие А наступило. Найти вероятность того, что измеренное дерево – береза. По формуле Байеса имеем:

= = 0,42.

______________________________________________________________

Формула Бернулли

Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Пусть проводятся n независимых опытов, в результате которых может появиться событие A с вероятностью p и не появиться с вероятностью q, причем p+q = 1. Такая схема называется схемой Бернулли.

Пусть X – число появлений события А в n испытаниях Бернулли. Тогда вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А появится ровно раз (Х=k) вычисляется по формуле Бернулли:

Пример:

_________________________________________________________ _

Вероятность попадания в мишень для конкретного стрелка равна 0,7. Какова вероятность того, что из 10 выстрелов будет 4 попадания в мишень?

Воспользуемся формулой Бернулли при k = 4, n = 10, p = 0,7. Искомая вероятность равна = 0,0367.

________________________________________________________________

В n испытаниях Бернулли наивероятнейшее число k₀ появления события А определяется неравенством

Пример:

________________________________________________________ ___

Всхожесть семян некоторого растения имеет вероятность 0,8. Найти наиболее вероятное число проросших семян из 7 посеянных.

По формуле 8 ∙ 0,8-1 , поэтому = 6.

______________________________________________________________

5.7. Формула Пуассона

Если в схеме испытаний Бернулли число испытаний n велико, вероятность p события A в одном испытании мала, а произведение λ = np не превосходит 20, то вероятность (m) того, что событие A появится ровно в m испытаниях, находится по приближенной формуле Пуассона:

Значения имеются в таблицах значений функции Пуассона.

Пример:

______________________________________________________ __

В ходе проверки случайным образом отбирается 10 счетов. Найти вероятность того, что обнаружится один счет с ошибкой, если в среднем 3% счетов содержат ошибки.

Для решения задачи используем формулу Пуассона, в которой n = 10, p=0,03, λ = np = 0,3. Имеем

 

По таблицам значений функции Пуассона находим 0,2223.

5.8. Локальная формула Муавра – Лапласа

Если число испытаний n достаточно велико, то вероятность появления события A ровно m раз в схеме из n испытаний Бернулли можно вычислять по приближенной формуле Муавра – Лапласа:

где

Причем – малая функция Лапласа (функция Гаусса), значения которой имеются в соответствующих таблицах.

Пример: _________________________________________________________ _

Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 70 грибов белых будет 20?

По формуле Муавра – Лапласа при n=70, m=20 имеем:

По таблицам определяем значениеТогда

.

______________________________________________________________

 

5.9. Интегральная формула Муавра – Лапласа

 

Для того, чтобы определить вероятность попадания числа m (появления события A в схеме Бернулли при большом числе испытаний n) в заданный промежуток [а,в]: , можно использовать интегральную формулу Муавра – Лапласа:

 

где

 

– функция Лапласа, значения которой находятся по таблицам.

Для относительной частоты (частости) m/n появления события A в n испытаниях Бернулли справедлива приближенная формула

Для числа m появлений события A справедлива приближенная формула

 

Примеры:

______________________________________________________

 

1. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью q = 0,25. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от 560 до 600.

Из условия задачи имеем n=768 испытаний Бернулли с вероятностью найти зрелый арбуз, равной р=0,75. Если m – число удачных выборов, то требуется найти вероятность , где a = 560, b = 600.

Поскольку

 

то по интегральной формуле Муавра – Лапласа получим:

2. Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что относительная частота выпадения герба отличается от 0,5 по модулю не более чем на ?

По формуле , в которой , имеем:

По таблицам значений функции Лапласа находим, что

Откуда выражаем п и, подставляя p=0,5; q=0,5, получим:

________________________________________________________________