Основные теоремы теории вероятностей

Теоремы сложения

ü Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:

(*)

ü Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления:

(**)

ü Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Примеры:________________________________________________________________________

1. Пусть пространством событий является множество чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, в котором все числа – элементар­ные события – равновозможны, вероятность каждого из них равна 1/10. Пусть A = {1,3, 5, 7}, В= {2, 4, 6}, тогда A и B несо­вместны и А + В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Найдем

Р(А) = = , Р(В) = , Р(А+В)= .

Проверим результат вычисления по формуле (*):

Р(А+В) = + = .

2. Пусть пространством событий является множество чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, в котором все числа – элементар­ные события – равновозможны, вероятность каждого из них равна 1/10. Пусть А = {2, 3, 5, 7, 10}, В = {2, 5, 6, 8, 9}, тогда А ^. В = {2, 5}, А + В = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

Р(А) = = , Р(В) = = , Р(А·В) = = , Р(А+В) = = .

что соответствует формуле (**):

Р(А+В) = + – = 1 – = .

3. Пусть в группе из 27 туристов 17 человек владеют англий­ским языком, 6 – французским, а 2 – обоими языками. Найти вероятность того, что случайно выбранный из группы турист владеет по крайней мере одним из этих языков [3, с. 13].

Введем событие: А – «выбранный турист владеет англий­ским», В – «выбранный турист владеет французским». Тогда со­бытие А + В означает, что турист владеет хотя бы одним из этих языков. По условию задачи

Р(А) = , Р(В) = , Р(АВ) = .

по формуле (**)имеем:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = + - = = .

____________________________________________________________