Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (рисунок 25).

Рисунок 25 – Параллельность прямой и плоскости

Рисунок 26 – Параллельность плоскостей

Для построения прямой l (l1, l2), проходящей через точку K (K2, K1) и параллельной заданной плоскости треугольника АВС (А1В1С1; А2В2С2) достаточно провести линию, параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости. На рисунке 25 показано построение l (l1; l2) параллельной прямой А1 (А111; А212,), лежащей в плоскости АВС (А1В1С1; А2В2С2).

Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рисунке 26 построена плоскость θ(ЕD Ç GF), проходящая через точку K (K2, K1) и параллельная плоскости Р (CA Ç AB). Для этого через К2 проведены D2Е2‖А2С2, G2F2‖А2В2 и через К1 – D1Е1‖А1С1, G1F1‖A1B1. Таким образом, построенная плоскость q (ЕD Ç GF) будет параллельна заданной Р (CA Ç AB).

Метрические задачи

Задачи, в которых требуется определить величины углов, длин, площадей, называются метрическими. Решение таких задач упрощается, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В случае, когда объект занимает общее положение возникает необходимость преобразования комплексного чертежа. Наиболее часто применяются при решении задач два способа преобразования чертежа: способ плоско-параллельного перемещения; способ замены плоскостей проекций.

Рисунок 27 – Способ плоскопараллельного перемещения

При применении способа плоско-параллельного перемещения (рисунок 27), важно уяснить следующие основные положения:

1) плоскости проекций неподвижны, а геометрический образ перемещается в пространстве.

2) все точки геометрического образа перемещаются во взаимно-параллельных плоскостях уровня (каждая в своей плоскости).

Если рассматривать плоско-параллельное перемещение, например, прямой, то важно учитывать, что в процессе перемещения она не изменяет угол наклона к той плоскости, относительно которой совершается ее плоско-параллельное перемещение. Отсюда правило, построение комплексного чертежа (рисунок 28):

1) проекция оригинала на плоскости, параллельно которой совершается его движение, сохраняет свою форму и величину, изменяя только положение.

Рисунок 28 – Перемещение прямой

2) проекции точек оригинала на другой плоскости проекций перемещаются по прямым, перпендикулярным соответствующим линиям связи (при этом проекция оригинала на эту плоскость меняет свое положение и форму).

При способе замены плоскостей проекций геометрический образ не изменяет положения в пространстве, а заданная система плоскостей проекций заменяется новой так, чтобы геометрический образ занял частное положение относительно вновь выбранной системы плоскостей проекций.

На рисунке 29 даны проекции точки А (А1, А2), заменим P2 на P4; P4 ^ P1; получим новую систему P1, P4 с новой осью X14; спроецируем точку А на P4, получим А4.

а) б)

Рисунок 29 – Способ замены плоскостей проекций

Рассматривая рисунок 29а, видим, что расстояние от А4 до новой оси X14 равно расстоянию от А2 до старой оси X12, то отрезок ZА4 = ZА2.

На комплексном чертеже проводят ось X14 и обозначают новую систему плоскостей проекций P1, P4, затем из А1 проводят линию связи ^ X14 и на продолжении этой линии связи от А14 откладывают расстояние равное расстоянию от старой проекции точки до старой оси проекции, т.е А₂А₁₂.

Получим А₄ на новой плоскости P₄; аналогично выполняют построение при P1 на P5 (рисунок 29б).

Следует заметить, что при решении различных метрических задач положение новой плоскости проекций определяется в зависимости от поставленной задачи.