Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть заданы прямая уравнениями и плоскость . Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Определяется угол по формуле

.

Если прямая параллельна плоскости, то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости ортогональны. Следовательно, равенство нулю скалярного произведения этих векторов является условием параллельности прямой и плоскости.

Если же прямая перпендикулярна плоскости, то векторы и коллинеарны и соотношение является условием перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример 16. Даны прямая и плоскость:

а) и ;

б) и ;

в) и .

Определить, какие из них параллельны или перпендикулярны.

Решение. а) Направляющим вектором прямой является вектор , а нормальным вектором плоскости – вектор . Координаты векторов пропорциональны: . Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости.

б) Координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости удовлетворяют условию параллельности прямой и плоскости: . Это означает, что прямая параллельна плоскости.

в) Координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости не удовлетворяют ни условию параллельности, ни условию перпендикулярности прямой и плоскости. Найдём угол между прямой и плоскостью:

.

Таким образом, прямая и плоскость пересекаются под углом .

Пример 17. Известно, что прямая и плоскость пересекаются в точке Р. Найти координаты этой точки.

Решение. Перейдём от канонических уравнений прямой к параметрическим: , , ; Полученные выражения для x, y, z подставим в уравнение плоскости и найдём параметр t: , , . Найденный параметр t подставим в параметрические уравнения плоскости и найдём координаты пересечения прямой и плоскости:

, , . Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости найдена.