Прямая линия на плоскости

Элементы аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости

Уравнением прямой называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.

Прямую на плоскости можно задавать различными способами.

Пусть в системе координат задан вектор и точка . Через точку проведём прямую, перпендикулярно вектору , и на этой прямой возьмём произвольную точку M(x,y). Тогда вектор будет перпендикулярен вектору . Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

.

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Записав скалярное произведение в координатной форме, получим уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:

.

Преобразуем это уравнение и получим общее уравнение прямой (или уравнение прямой в общем виде)

Ax+By+C=0,

где .

Углом наклона прямой к оси Ох называется угол, который отсчитывается в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки, от положительного направления оси Ох до данной прямой. Тангенс угла наклона называется угловым коэффициентом прямой и обозначается .

Уравнение вида y=kx+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана точка и угловой коэффициент k. Тогда уравнение

называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

Пусть известны две точки и . Уравнение

называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение называется уравнением прямой в отрезках, где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси Ох, а b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу.

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и . Тогда угол между этими прямыми определяется по формуле

.

Если прямые параллельны, то и, следовательно, . Это равенство является условием параллельности двух прямых. Если же прямые перпендикулярны, то и или . Это равенство является условием перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору, имеет вид . Так как по условию примера , , A=3, B=2, то или 3x+2y+2=0.

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси Ох.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом имеет вид . По условию примера . Так как , а , то угловой коэффициент равен . Подставим в уравнение прямой: или . Искомым уравнением прямой является .

Пример 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид . Так как по условию примера , , , , то , .

Пример 4. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями y=3x 4 и y=2x+1.

Решение. Угол между двумя прямыми определяется по формуле . По условию и . Подставим в формулу:

, .

Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M( 2, 5) параллельно прямой 2x+3y 5=0.

Решение. Так как искомая прямая должна быть параллельна данной, то по условию параллельности прямых их угловые коэффициенты должны быть равными, т.е. . Найдём угловой коэффициент данной прямой: 3y= 2x+5, , т.е. . Тогда и . Подставим в уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: , , 2x+3y 11=0.

Пример 6. Прямая задана уравнением 3x 4y+3=0. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M( 1, 4) перпендикулярно данной прямой.

Решение. Так как искомая и данная прямые по условию перпендикулярны, то их угловые коэффициенты должны удовлетворять условию перпендикулярности . Найдём угловой коэффициент данной прямой: 3x 4y+5=0, , . Следовательно, . Подставим в уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: , 4x+3y 8=0. Последнее уравнение является уравнением искомой прямой.

Пример 7. Уравнение 3x 4y 24=0 записать в виде уравнения прямой в отрезках.

Решение. Запишем уравнение в виде 3x 4y=24 и разделим обе части на 24: или .

Плоскость

Уравнением плоскости называется такое уравнение с тремя неизвестными, которому удовлетворяют только точки данной плоскости.

С каждой плоскостью связан вектор, перпендикулярный данной плоскости. Этот вектор называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора плоскости можно взять любой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид:

.

Преобразуем данное уравнение и запишем его в виде

Ax+By+Cz+D=0,

где . Полученное уравнение называется общим уравнением плоскости.

Пусть две плоскости заданы уравнениями

и .

Углом между плоскостями будем считать угол между их нормальными векторами и , который определяется по формуле

.

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны и их координаты пропорциональны:

.

Эти равенства являются условием параллельности двух плоскостей.

Если же плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Это равенство является условием перпендикулярности двух плоскостей.

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 4, 1) перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору имеет вид . Так как по условию А=1, В= 5, С=2, , , , то подставим эти значения в уравнение и получим или x 5y+2z 24=0.

Пример 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В(2, 4, 1) параллельно плоскости 3x-2y+z 12=0.

Решение. Нормальный вектор плоскости равен . Так как искомая плоскость параллельна заданной, то в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять этот же вектор. Подставим координаты точки А и вектора в уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:

3(x 2) 2(y 4)+(z+1)=0 или 3x 2y+z+3=0.

Пример 10. Определить угол между плоскостями 2x+y 2z+3=0 и x+y 5=0.

Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и определяется по формуле

.

Запишем нормальные векторы для данных плоскостей: . Подставим координаты этих векторов в формулу: . Следовательно, .

Пример 11. Даны пары плоскостей:

а) 3x 4y+5z 3=0 и 6x 8y+10z+5=0;

б) 2x y+5z 5=0 и 4x+3y z+1=0;

в) x 3y+z 1=0 и 2x+4y 3z+2=0.

Определить, какие из них параллельны, а какие перпендикулярны.

Решение. а) Запишем нормальные векторы плоскостей:

и . Так как координаты векторов пропорциональны , то выполняется условие параллельности плоскостей, т.е. плоскости параллельны.

б) Нормальными векторами плоскостей являются векторы и . Скалярное произведение векторов , что является условием перпендикулярности плоскостей. Следовательно, плоскости перпендикулярны.

в) Плоскости имеют нормальные векторы и . Координаты этих векторов не пропорциональны, т.е. , и скалярное произведение векторов не равно нулю: . Следовательно, заданные плоскости не параллельны и не перпендикулярны.