Кинетический момент твердого тела.

Кинетический момент (главный момент количеств движе­ния) системы материальных точек относительно неподвиж­ной точки О определяется формулой

(3.52)

Здесь векторы-радиусы проводятся из неподвижной точки О. Для твердого тела сумма в формуле (3.52) заменя­тся интегралом

(3.53)

где интегрирование производится по объему, занимаемому твердым телом. Пусть известна скорость некоторой точки А твердого тела (полюса) , а также его угловая скорость ; по известной формуле кинематики скорость любой точки твердого тела и ее вектор-радиус выражаются формулами

; (3.54)

где - вектор-радиус, проведенный из полюса А в эту точку. Подставляя формулы (3.54) в кинетический момент (3.53), вынося векторы, не зависящие от положения текущей точки, за знак интеграла, получаем

(3.55)

Первые два интеграла в формуле (71) имеют простой смысл:

(72)

для преобразования последнего интеграла (3.55) раскроем двойное векторное произведение, после чего используем свой­ство единичного тензора и определение тензора инерции; тогда

(3.57)

Учитывая результаты (3.56) и (3.57), приводим выражение кинетического момента твердого тела к окончательному виду

. (3.58)

Если за полюс взять центр инерции твердого тела, то

и формула (3.58) упрощается

.

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О, то

и в результате имеем

(3.59)

Умножая тензор инерции скалярно на вектор угловой скоро­сти (так как тензор инерции симметричен, то его можно умножать на вектор как слева так и справа)получаем развернутое представле­ние формулы (3.59)

(3.60)

Из этого последнего представления сразу следуют выра­жения для кинетических моментов твердого тела относитель­но координатных осей:

(3.61)

Тензорная формула (3.59) является краткой записью этих соотношений. Если оси х, у, z главные, то центробежные мо­менты инерции равны нулю и формулы (3.60) и (3.61) для этого слу­чая упрощаются:

Из формул (3.62) отчетливо видно, что кинетический мо­мент тела, вращающегося вокруг точки, не совпадает по на­правлению с вектором его угловой скорости; такое будет иметь место лишь в случае, когда тензор инерции явля­ется шаровым тензором.

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, например, оси z, то и формула (3.60) дает

.

Вопросы для самопроверки.

1. Векторная формула кинетического момента системы точек.

2. Теорема об изменении кинетического момента.

3. Какие моменты инерции твердого тела Вам известны. Приведите формулы их записи.

4. Дайте определения центральной и главной оси инерции.

5. Чему равен момент инерции цилиндра относительно его продольной оси симметрии?

6. Напишите векторное выражение для кинетического момента тела, вращающегося вокруг неподвижной оси( варианты- 0X, 0Y, 0Z).

7. Напишите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной главной оси, прокомментируйте введенные обозначения

8.Как изменится угловая скорость вращения стержня длины L и массы M1 , если груз массы М переместится из положения h на конец стержня.

9. Определите период колебаний двух стержней, показанных на рисунке, относительно горизонтальной оси.

10. Напишите формулу Гюйгенса.

11. Как изменится центробежный момент инерции Jyz при переходе от старой оси OZ к новой, пересекающей ось 0Y на расстоянии l.

12. Определить ускорение груза и натяжение нити в указанном примере..

13. Напишите формулу тензора инерции относительно выбранного центра (в диадной форме).

14. Как записать момент инерции относительно оси, заданной ортом , если известен тензор инерции. (в общем виде).

15. Как записать центробежный момент инерции относительно осей, заданными ортами и , если известен тензор инерции (в общем виде).

16. Чему равен кинетический момент относительно оси, если , а тензор инерции .

17. Чему равен центробежный момент инерции относительно осей, заданными ортами , тензор инерции .

Глава 12.