Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Поворачивая систему осей вокруг начала координат – точки О, получим новую систему осей При этом компоненты тензора инерции в новой системе примут некоторые значения, определяемые по формулам (3.40), (3.42), (3.43), (3.44). Моменты инерции относительно новых осей (осевые моменты инерции) будут обязательно положительными, как это следует из формул (3.26), и для тела, занимающего некоторый объём в пространстве, в нуль обратиться не могут. Иное дело центробежные моменты инерции ; уже из формул (3.27) очевидно, что эти моменты принимают как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, существуют такие пары направлений в теле, для которых центробежные моменты инерции обращаются в ноль. Эти направления называются главными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей главными моментами инерции. В данной точке тела всегда имеются три взаимно перпендикулярных направления, являющиеся главными осями инерции, поэтому тензор инерции (3.39) надлежащим поворотом осей вокруг начала координат может быть приведён к виду

(2.45)

Здесь - главные моменты инерции в точке О, а - орты главных осей инерции. Поставим перед собой задачу отыскать главные оси инерции и главные моменты инерции по заданным (не в главных осях) составляющим тензора инерции (3.26) и (3.27). Приравнивая формулы (3.41) и (3.45), получим

символ обозначает тензорное или диадное умножение. Умножим полученное уравнение скалярно на слева; тогда получим векторное соотношение

эквивалентное трём скалярным

=0

=0 (3.46)

=0

Здесь опущен индекс у главного момента инерции . Система (3.46) вместе с уравнением

(3.47)

Служит для определения искомого главного момента инерции и направляющих косинусов главной оси инерции. Предположим, что главный момент инерции нам известен (его величина не равна нулю). Тогда система (3.46) будет линейной и однородной системой относительно неизвестных , причём, как следует из соотношения (3.47), она имеет нетривиальное, т.е. отличное от нуля, решение. Отсюда следует, что определитель этой системы должен быть равен нулю

Раскрывая этот определитель, получаем кубическое уравнение для определения искомого главного момента инерции :

где

Величины называются инвариантами тензора инерции, они не изменяются при повороте координатной системы. Таким образом, в любой точке твёрдого тела всегда можно найти три главные оси инерции, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю. В случае, если , то все три оси перпендикулярны. В некоторых случаях главную ось инерции можно определить сразу:

1. ось симметрии тела всегда главная ось инерции;

2. ось инерции перпендикулярная плоскости симметрии тела – главная ось, но только в точке пересечения оси и плоскости. В других точках эта ось может перестать быть главной, но об этом будет рассказано ниже.