Квазигармоническое представление сигналов

Во многих случаях сигнал удобно записывать в квазигармонической форме в виде

где – называют огибающей,

- полной фазой,

– частотой (выбираемой произвольно),

– начальной фазой сигнала.

Для определения и введём в рассмотрение комплексный сигнал , получаемый из действительного сигнала следующим образом:

– называют сопряжённым сигналом (связанным некоторым образом с ). Тогда

, .

Поскольку сопряженный сигнал можно связать с исходным разными способами, то задача вычисления огибающей и полной фазы оказывается неоднозначной.

По ряду причин, часть из которых станет понятной из дальнейшего, в качестве сопряжённого удобно выбрать преобразованный по Гильберту исходный сигнал

Комплексный сигнал вида называют аналитическим сигналом.

Преобразование Гильберта в спектральной области сводится к сдвигу фаз всех спектральных составляющих сигнала на угол в области положительных ( ) и на в области отрицательных ( ) частот.

С точки зрения схемотехники преобразователь Гильберта – это фазовращатель (рис. 2.9) с передаточной функцией

или ,

где – – знаковая функция.

Найдём импульсную характеристику преобразователя Гильберта

Первый интеграл в полученном выражении равен 0 в силу интегрирования нечетной функции при симметричных пределах, а второй сводится к табличному интегралу вида

при .

Окончательно получаем

Из полученного результата с очевидностью вытекает невозможность физической реализации преобразования Гильберта, т.к. при t < 0. Тем не менее, реально преобразование Гильберта осуществляют приближённо, допуская временную задержку, тем большую, чем выше требования к точности преобразования.