Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, зани­мались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гаранти­рует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением ус­ловий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устой­чивость конструкций.

При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью пони­мается свойство способности системы сохранять свое первоначаль­ное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние - неустойчивым состоянием.

При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интен­сивности нагрузок, явление перехода системы от одного равновес­ного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются кри­тическими.

В некоторых случаях при потере устойчивости, система, пере­ходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает вы­полнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случа­ев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равно­весного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Рис. 7.1

Основная задача теории устойчивости заключа­ется в определении критического значения внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости задан­ной системы в эксплуатационных режимах.

Пусть вертикальный стержень закреплен ниж­ним концом, а на свободном верхнем конце цент­рально приложена продольная сила Р (рис. 7.1). На начальном этапе нагружения равновесное состояние системы определяется как простое продольное сжатие, так как на данном этапе нагружения в поперечных сечениях стержня, за иск­лючением продольной силы, остальные силовые факторы равны нулю. При дальнейшем росте внешней силы Р, обнаруживается, что при некотором ее значении P = P_KP , стержень изогнется. Так как явление изгиба тесно связано с действием изгибающих момен­тов, возникающих в поперечных сечениях стержня, можем утверж­дать, что при P = P_KP происходила смена формы равновесного сос­тояния системы. Если на начальном этапе нагружения P < P_KP , равновесное состояние вертикального стержня определялось как простое сжатие, то при P > P_KP сжатие сопровождается изгибом. Это означает, что при P = P_KP происходила потеря устойчивости системы.

Заметим, что в данном случае, смена формы равновесного сос­тояния сопровождается и сменой формы деформирования: в докри­тическом - прямолинейная форма деформирования, в закритиче­ском - криволинейная, а в критическом - смешанная форма.

Заметим также, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выпол­няться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости:

, (7.1)

где Р_KP - значение сжимающей силы, при котором стержень пере­ходит из прямолинейного состояния равновесия к криволинейно­му; F - площадь сечения стержня.

Рис. 7.2

Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнир­но опертыми концами при действии центрально сжи­мающей силы Р (рис. 7.2).

Впервые эта задача была поставлена и решена Л.Эйлером в середине ХVIII века и носит его имя.

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от цен­трально сжатого состояния к изогнутому, т.е. становится возмож­ной криволинейная форма оси стержня при центрально приложен­ной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая диф­ференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем:

(7.2)

где I_x - минимальный момент инерции сечения.

Для определения выражения изгибающего момента M_x (z), дей­ствующего в поперечном сечении стержня, расположенном на рас­стоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис. 7.2 и рассматривая равновесие отсе­ченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим:

. (7.3)

При положительном прогибе в выбранной системе координат знак “минус” означает, что момент является отрицательным

Введем следующее обозначение:

. (7.4)

Тогда уравнение (7.2) преобразуется к виду:

. (7.5)

Решение (7.5) записывается в виде:

. (7.6)

Постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий зада­чи:

y (0) = 0; y (l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С₂ = 0, а из второго полу­чается, что либо С₁ = 0 (что нам неинтересно, т.к. в этом случае y (z) º 0), либо

sin kl = 0. (7.7)

Из (7.7) следует, что kl = pn, где n - произвольное целое число. Учитывая (7.4), получаем:

. (7.8)

Это означает, что для того, чтобы центрально сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая си­ла была равна какому-либо значению из множества Р_n по (7.8). Наименьшее из этих значений называется критической силой Р_KP и будет иметь место при n = 1:

Р_KP = . (7.9)

Эта сила носит название первой критической эйлеровой силы.

Следовательно, согласно (7.6) при Р = Р_KP выражение прогибов можно запи­сать в следующем виде:

. (7.10)

Из (7.10) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов y (z) при различных n изображены на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Из (7.9) видно, что критическая с точки зре­ния устойчивости сила за­висит от жесткости стерж­ня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стерж­ня, т.е. два стержня одинаковой длины с идентичными граничными условиями их закрепления, изготовленных из различных материа­лов, но имеющих одинаковую изгибную жесткость, теряют устой­чивость при одном и том же значении сжимающей силы. В этом заключается значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и проверкой на устойчивость.

При изменении условий закрепления концов стержня необхо­димо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде:

. (7.11)

Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:

. (7.12)

где m - коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколь­ко раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления. На рис. 7.4 по­казано несколько видов закрепления стержня и указаны соответст­вующие значения коэффициента m.