Определение перемещений методом Мора
Суть метод Мора в следующем. Если необходимо определить перемещение в заданной точке по заданному направлению, то наряду с заданной системой внешних сил в этой точке прикладывается внешнее усилие Ф = 1 в интересующим нас направлении.
Далее составляется выражение потенциальной энергии системы, состоящей из n участков с учетом одновременного действия заданной системы внешних сил и силы Ф :
(6.1)
,
где Кх , Ку - безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, например, для прямоугольника Кх = Ку = 1,2, а для двутавра при изгибе в плоскости его стенки K = F/FCT , где F - площадь всего сечения двутавра, FCT - площадь стенки; Nz , Qx , Qy , Mz , Mx , My - внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной стержневой системы; -внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной системы, от действия усилия Ф = 1.
Дифференцируя выражение (6.1) по Ф, и полагая после этого Ф = 0, находим искомое перемещение в искомой точке в нужном направлении.
. (6.2)
Полученные интегралы называются интегралами Мора и широко применяются при вычислении перемещений стержневых систем.
Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирно-стержневые системы - фермы), в формуле Мора (6.2) отличен от нуля будет только слагаемое, содержащее продольные силы. При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продольной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничиваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и крутящие моменты.
Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (Mx ¹ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0). В этой ситуации выражение (6.2) принимает вид:
. (6.3)
Согласно (6.3) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:
1. Построить эпюру моментов Мx от заданной системы внешних сил;
2. Исключая внешние силы и в точке, где необходимо определить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сила - если требуется определить линейное перемещение; момент - если требуется определить угловое перемещение), и от действия единичного усилия строится эпюра моментов ;
3. По формуле Мора (6.3) вычисляется искомое перемещение.
Рис. 6.6 |
Если принять E I = const, то перемещение в некоторой точке стержня определяется как интеграл от произведения двух функций моментов - Мx и . В общем виде интеграл Мора можно выразить следующей формулой:
. (6.4)
Часто встречаются случаи, когда на участке стержня длиной l необходимо вычислить интеграл Мора при условии, что по крайней мере одна из функций - линейная (рис. 6.6). Пусть f2 = b + k z, тогда из (6.4) получим :
(6.5)
где W1 - площадь эпюры f1 ; f2 (zC) - ордината линейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры (рис. 6.6).
Приведенное решение носит имя русского ученого Верещагина, впервые его получившего. Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования выражения (6.4) в случае линейности хотя бы одной из подынтегральных функций существенно упрощается и сводится к перемножению площади криволинейной эпюры на ординату второй (линейной) функции под центром тяжести криволинейной.
Используя способ Верещагина, приведем результаты вычисления интегралов Мора для двух наиболее часто встречающихся случаев:
1. Обе функции f1 и f2 - линейные (рис. 6.7), тогда
; (6.6)
2. Функция f1 - квадратная парабола, f2 - линейная функция (рис. 6.8). Такая ситуация встречается, когда на участке длиной l приложена равномерно распределенная нагрузка q, тогда
, (6.7)
где f - “стрелка” квадратной параболы (рис. 6.8), .
В общем случае, если площадь W эпюры моментов имеет сложную геометрию и представляется возможным ее разбить на площади Wk (k = 1,2,3,...), имеющие элементарную геометрию, то интеграл Мора I от произведения эпюры W на эпюру моментов M, может быть представлен в виде:
. (6.8)
Для расчета усилий в статически неопределимых стержневых системах существуют различные методы. Здесь рассмотрим метод сил.
Метод сил
Суть этого метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется соответствующими силами и моментами. Их величины, в дальнейшем, подбираются так, чтобы перемещения системы соответствовали тем бы ограничениям, которые на нее накладываются отброшенными связями.
Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 6.9, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 6.9, б, в), однако их должно объединять следующее условие - основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою геометрию без деформаций элементов).
Рис. 6.9
Рассмотрим систему, которая дважды статически неопределима (рис. 6.10, а). Заменим в основной системе действие отброшенных связей неизвестными усилиями X1 и X2 (рис. 6.10, б). Принятая основная система будет работать также, как и заданная, если на нее наложить условие отсутствия вертикальных перемещений в точках A и B (т.е. в тех местах, где в заданной системе стоят опоры):
(6.9)
Рис. 6.10 |
Уравнения (6.9) называются уравнениями совместности деформаций и при их выполнении фактически устанавливается условие эквивалентности между заданной и основной системой при действии внешней силы Р и неизвестных усилий X1 и X2 . На основании принципа независимости действия сил (6.9) можно представить в следующем виде:
(6.10)
где yA(P), yB(P), yA(X1), yB(X1), yA(X2), yB(X2) - вертикальные перемещения точек А и В основной системы соответственно от действия сил Р, Х1, Х2.
Вводя обозначения d11, d12, D1P - вертикальные перемещения точки А основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внешней силы Р; d21, d22, D2P -вертикальные перемещения точки B основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внешней силы Р, и учитывая существование линейности связи между силой и перемещением, систему уравнений (6.3) можно преобразовать в канонической форме:
(6.11)
Последние уравнения носят названия канонических уравнений метода сил.
Для вычисления коэффициентов при неизвестных X1 и X2 используют формулу Мора:
, (i, j = 1,2). (6.12)
Легко видеть, что , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных. Свободные же коэффициенты определяются по формуле:
. (6.13)
После решения системы (6.11) определяются величины неизвестных усилий X1 и X2 . Если их значения получились отрицательными, это означает, что реально они действуют в направлении противоположном принятому. Окончательная эпюра моментов определяется по зависимости
. (6.14)
Эпюра поперечных сил QOK может быть построена по эпюре моментов МОК с использованием зависимости и величин приложенных к системе усилий.
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 940;