Методические указания к решению задач

При решении задач на определение центра тяжести фигур сложной формы необходимо придерживаться следующего порядка.

1. Выбрать метод, который наиболее применим к данной задаче (метод группировок или метод отрицательных масс).

2. Разбить сложное тело на простые элементы, для которых центры тяжести известны.

3. Выбрать оси координат. При этом необходимо помнить: если тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести лежит в этой плоскости; если тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси; если тело имеет центр симметрии, то его центр тяжести совпадает с центром симметрии.

4. Определить координаты центров тяжести отдельных простых тел относительно выбранной оси.

5. Используя формулы (11.4) – (11.14), определить искомые координаты центра тяжести заданного тела.

Пример 16. Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки сложной формы (рис. 11.7), если а = 1 см, в = 2,5 см.

Рис.11.7. Определение центра тяжести фасонной пластинки

Решение:

1. Разобьем площадь пластинки на три части I – III: прямоугольник ABDE,треугольник ОМК,площадь которого будет отрицательна, и полукруг радиусом R = а.

2. Определим площади частей:

;

;

.

3. Центр тяжести прямоугольника С₁ находится на пересечении его диагоналей; центр тяжести треугольника С₂ – на пересечении медиан; центр тяжести полукруга С₃ лежит на оси х на расстоянии R(sinα)/α от точки О, где α = p/2рад.

4. Выберем начало координат в точке О, направив оси х и у, как указано на рис. 11.7.

5. Определим координаты центров тяжести каждой части:

6. Определим координаты центра тяжести всей фигуры согласно выражению:

Итак положение центра тяжестей всей фигуры будет находиться в точке С.

Пример 17. Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рис. 11.8.

Рис. 11.8

Решение. Из курса черчения известно, что номер профиля проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженному в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси у, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. х_С = 0. По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения

A₁ = 15,2 см²; y₁ = 22/2= 11 см;

для швеллерного сечения

A₂= 12 см², y₂= 22+d–z₀=22+0,32–1,25=21,07 см,

где d – толщина стенки швеллера; z₀ – размер центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

.

Тогда

Контрольные вопросы

1. Что называется центром параллельных сил?

2. Изменится ли положение центра параллельных сил при повороте параллельных сил на некоторый угол? Поясните ответ.

3. Какая сила называется силой тяжести тела?

4. Как определить положение центра тяжести тела, имеющего сложную форму?

5. В чем особенность определения положения центра тяжести симметричных тел?

6. Приведите формулы для определения координат центра тяжести плоских фигур.

12. ПОНЯТИЕ О ФЕРМЕ. СПОСОБЫ РАСЧЁТА ФЕРМ

Фермой называется жёсткая конструкция из прямолинейных стержней, соединённых на концах шарнирами.Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется плоской.Места соединения стержней фермы называют узлами.

Реальные фермы не имеют идеальных шарниров, однако такое допущение облегчает вычисление усилий в стержнях фермы, а результаты вычислений при этом допущении вполне пригодны для практики.

Если шарниры, соединяющие стержни фермы, предполагаются идеальными, т. е. без трения, а все внешние силы – приложенными кузлам фермы, то все стержни испытывают лишь растяжение или сжатие, так как к каждому стержню приложены силы только на его концах.

Узлы, с помощью которых ферма опирается на основание, называютсяопорными узлами.

Стержни плоской формы, расположенные по верхнему контуру, образуют верхний пояс,а расположенные по нижнему контуру – нижний пояс фермы.

Вертикальные стержни называются стойками,а наклонные – раскосами.

На рис. 12.1 – 12.4 изображены опоры фермы. Реакция каждого из опорных стержней, очевидно, направлена по оси этого стержня.

Рис. 12.1 Рис. 12.2

Рис. 12.3 Рис. 12.4

Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов п связаны соотношением

k = 2n – 3. (12.1)

В жёстком треугольнике, образованном из трех стержней, будет три узла. В результате число стержней в ферме k = 3+2(n – 3) = 2n – 3. При меньшем числе стержней ферма не будет жёсткой, а при большем числе она будет статически неопределимой.

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в её стержнях.

Рассмотрим определение усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов.

Так как в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты, а какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции стержней направлены от узлов).

Если в результате вычислений получают ответ со знаком «–», то соответствующий стержень сжат.

Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.

Рассмотрим изображённую на рис. 12.5, а ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников: действующие на ферму силы параллельны оси х и равны: F₁ = F₂ = F₃ = F = 2T.

45° а)

б)

Рис.12.5

В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соотношение (12.1) выполняется, и ферма является жесткой, без лишних стержней.

Составляя уравнения равновесия для фермы в целом, найдём, что реакции опор направлены, как показано на рисунке 12.5, а, и численно равны:

Переходим к определению усилий в стержнях. Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами,а стержни – арабскими. Искомые усилия обозначим S₁ (в стержне 1), S₂ (в стержне 2) и т.д. Вырежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями. Действие отброшенных частей стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численноравны искомым усилиям S₁, S₂,… Изобразим все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая все стержни растянутыми (рис. 12.5, а; изображённую картину надо представлять себе для каждого узла так, как это показано на рис. 12.5, б для узла III).

Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составим последовательно уравнения равновесия:

, .

Начнём с узла I, где сходятся два стержня,так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия. Составляя уравнения равновесия для узла I, получим

, .

Отсюда находим

, .

Теперь, зная S₁, перейдём к узлу II. Для него уравнения равновесия дают

, ,

откуда

, .

Определив S₄,составим аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, а затем для узла IV. Из этих уравнений найдём:

, , .

Наконец, для вычисления S₉составим уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось By. Получим , откуда .

Окончательные результаты расчета сведём в таблицу.

Как показывают знаки усилий, стержень 5растянут, остальные стержни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой стержень).

Для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчетов, удобно пользоваться методом сечений (метод Риттера).

Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия, выбирая центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

Пример 18. Пусть требуется определить усилие в стержне 6 фермы, изображённой на рис. 12.6. Действующие вертикальные силы:

P₁ = Р₂ = Р₃= P₄= 2T.

Рис. 12.6

Решение. Определим реакции опор: N₁ = N₂ = 4Т. Проведём сечение аb через стержни 4, 5, 6и рассмотрим равновесие левой части фермы, заменяя действие на нее правой части силами, направленными вдоль стержней 4, 5, 6.Чтобы найти S₆, составим уравнение моментов относительно точки С, где пересекаются стержни 4 и 5. Получим, считая AD = DC = a и ВС ^ BE:

.

Отсюда найдём S₆. Плечо СВ вычислим по данным, определяющим геометрические размеры фермы (если метод применяется для приближённой проверки правильности графического расчёта и ферма вычерчена в масштабе, то значение СВ можно взять с рисунка). В данном примере ÐAВС = 90° и .

Следовательно, – стержень растянут.

Усилия в стержнях 4 и 5 можно найти, составив уравнения моментов относительно центров В (точка пересечения стержней 5, 6)и А (точка пересечения стержней 4, 6).

Расчёт фермы методом вырезания узлов может производиться графически.

Графический расчёт фермы можно проделать быстрее и результаты его представить более компактно, если в процессе построения силовые многоугольники для всех узлов фермы объединить в одну диаграмму усилий, называемую диаграммой Максвелла.

Контрольные вопросы

1. Что называется фермой?

2. Какова связь между количеством узлов и стержней в треугольной конструкции фермы?

3. В чём заключается сущность способа вырезания узлов?

4. Что определяет знак усилия в стержне?

5. В чём заключается сущность метода сечений (метода Риттера)?