Основные методы интегрирования
Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x Î X справедливо равенство:
F¢ (x) = f(x). (8.1)
Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -
ò f(x) dx.
Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то
ò f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
где С - произвольная постоянная.
Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:
1) d ò f(x)=f(x)dx,
2) ò df(x)=f(x)+C,
3) ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const),
4) ò(f(x)+g(x))dx= ò f(x)dx+ ò g(x)dx.
Список табличных интегралов
1. ò xm dx = xm+1/(m + 1) +C (m ¹ -1).
2. = ln êx ê +C.
3. ò ax dx = ax/ln a + C (a>0, a¹1).
4. ò ex dx = ex + C.
5. ò sin x dx = cos x + C.
6. ò cos x dx = - sin x + C.
7. = arctg x + C.
8. = arcsin x + C.
9. = tg x + C.
10. = - ctg x + C.
Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z=g(x) имеет на [a,b] непрерывную производную и a £ g(x) £b, то
ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(z) dz, (8.3)
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).
Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:
ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x).
Например:
1) ;
2) .
Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,
d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.
Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:
ò udv = uv - ò vdu. (8.4)
Эта формула выражает правилоинтегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.
Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,
ò xk lnmx dx, ò xk sin bx dx, ò xk cos bx dx, ò xk e ax dx
и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 <...<xn = b. Из каждого интервала (xi-1, xi) возьмем произвольную точку xi и составим сумму f(xi)D xi, где
D xi = xi - xi-1. Сумма вида f(xi)D xi называется интегральной суммой, а ее предел при l = max D xi ®0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:
f(xi)D xi. (8.5)
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b],числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
1) ;
2) ;
3) - ;
4) , (k = const, kÎR);
5) ;
6) ;
7) f(x)(b-a) (xÎ[a,b]).
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
ò f(x) dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.
Дата добавления: 2015-12-22; просмотров: 702;