ЛекцІя №5 транспортна задача ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
1. Постановка задачі.
Симплекс-метод вирішення ОЗЛП являється універсальним і може бути застосованим для рішення будь-яких задач такого типу. Однак існують деякі типи задач лінійного програмування, які допускають більш просте рішення. До таких задач відноситься транспортна задача.
Нехай є m пунктів відправлення (ПВ) A1, A2, … Am, в яких сконцентровані запаси певного однорідного вантажу в кількості, відповідно a1, a2, … am одиниць. Також є n пунктів призначення (ПП) B1, B2, … Bn з потребами у цьому вантажі, відповідно: b1, b2, … bn одиниць.
Припускається, що (транспортна задача є „закрита” або „збалансована”). Відома вартість cij перевезення одиниці вантажу від кожного пункту відправлення Ai до кожного пункту призначення Bj. Таблиця (матриця) вартості cij перевезень задана:
Необхідно скласти такий план перевезень, при якому всі потреби у вантажі були б виконані, а загальна вартість перевезень була б мінімальна. Така постановка являє собою транспортну задачу по критерію вартості (можлива по критерію часу).
2. Формалізація задачі.
Введемо позначення:
xij – кількість вантажу, що відправляється з i-го пункту відправлення Ai в j-й пункт призначення Bj. Невід’ємні значення xij (кількість яких m×n) повинні задовольняти наступним умовам (обмеженням):
1) загальна кількість вантажу, що направляється з кожного пункту відправлення в усі пункти призначення, повинна дорівнювати запасу вантажу в цьому ПВ, тобто:
(1)
2) загальна кількість вантажу, що доставляється в кожний ПП з усіх ПВ, повинна дорівнювати потребам цього ПП., тобто:
(2)
3) Загальна вартість всіх перевезень повинна бути мінімальною, тобто:
Функція L та обмеження (1) і (2) лінійні, так що це є типова задача лінійного програмування. Особливості транспортної задачі дозволяють вирішити її більш простим способом, ніж симплекс-методом:
1) всі коефіцієнти при змінних в обмеженнях (1) і (2) дорівнюють 1;
2) не всі з m+n є незалежними, оскільки , через що в транспортній задачі базисних змінних m+n–1, а вільних mn – (m+n-1) = (m-1)(n-1).
3. Основні визначення.
1) значення xij одиниць вантажу, що направляється з пункту відправлення Ai в пункт призначення Bj будемо називати перевезенням.
2) будь-яку сукупність значень xij будемо називати планом перевезень.
3) план перевезень будемо називати допустимим, якщо він задовольняє балансовим умовам (1) і (2) – всі запаси вивезені, всі потреби задовільнено.
4) допустимий план перевезень будемо називати опорним, якщо в ньому ненульових перевезень (базисних змінних xij) r = m+n–1, а інші перевезення (змінні) дорівнюють нулю.
5) план перевезень будемо називати оптимальним, якщо він серед всіх допустимих планів призводить до найменшої загальної вартості перевезень.
4. Транспортна таблиця.
На відміну від симплекс-метода, вирішення транспортної задачі зводиться до більш простих операцій, які виконуються в таблиці, що називається транспортною(табл. 1). В такій таблиці в певному порядку записують умови транспортної задачі, в т.ч.:
1) пункти відправлення Ai та пункти призначення Bj. При цьому кожному з m рядків ставиться у відповідність певний ПВ Ai, а кожному стовпцю – певний ПП Bj;
2) запаси вантажу ai, що є в кожному пункті відправлення записуються в останньому стовпці;
3) потреби у вантажі bj, що є в кожному пункті призначення записуються в останній рядок;
4) вартість перевезення cij одиниці вантажу з кожного ПВ Ai в кожний ПП Bj записуються в верхньому лівому кутку клітини на перетині відповідних i-го рядка та j-го стовпця.
5) кількість одиниць вантажу xij, що перевозиться з ПВ Ai в ПП Bj записується у відповідній клітині у правому нижньому куті.
Таблиця 1
B1 | B2 | ... | Bj | ... | Bn | Запаси ai | |
A1 | c11 x11 | c12 x12 | c1j x1j | c1n x1n | a1 | ||
A2 | c21 x21 | c22 x22 | c2j x2j | c2n x2n | a2 | ||
… | … | ||||||
Ai | ci1 xi1 | ci2 xi2 | cij xij | cin xin | ai | ||
… | … | ||||||
Am | cm1 xm1 | cm2 xm2 | cmj xmj | cmn xmn | am | ||
Потреби bj | b1 | b2 | … | bj | … | bn |
Клітини транспортної таблиці, в яких записані відмінні від нуля перевезення називаються базисними, інші (порожні) – вільні. Кількість базисних клітин в опорному, а, значить, і в оптимальному, плані має бути r = m+n–1.
Таким чином, рішення транспортної задачі зводиться до наступного: знайти такі невід’ємні значення перевезень (базисних змінних), які б задовольняли таким умовам:
1) сума перевезень по кожному рядку повинна дорівнювати запасу вантажу у даному пункті відправлення;
2) сума перевезень по кожному стовпцю повинна дорівнювати потребам відповідного пункту призначення;
3) загальна вартість усіх перевезень повинна бути мінімальною.
Транспортна таблиця з порушенням балансу.
Якщо сумарні запаси вантажу у пунктах відправлення не співпадають з сумарними потребами в цьому вантажі в пунктах призначення, то має місце відкрита транспортна задача. Відкриту транспортну задачу зводять до закритої шляхом введення фіктивного пункту призначення або пункту відправлення.
1) транспортна задача з надлишком запасів: . В цьому випадку вводять фіктивний пункт призначення Bф (додатковий стовпець) з потребами: , вартість перевезення одиниці вантажу в фіктивний пункт призначення ciф=0. Перевезення xiф з Ai в Bф означає, що в пункті відправлення Ai залишились невикористані (невідправлені) запаси вантажу у кількості xiф одиниць.
2) транспортна задача з надлишком потреб: . В цьому випадку вводять фіктивний пункт відправлення Aф (додатковий рядок) з запасами: , вартість перевезення одиниці вантажу з фіктивного пункту відправлення cфj=0. Перевезення xфj з Aф в Bj означає, що в пункті призначення Bj частина потреб у розмірі xфj одиниць вантажу залишилась непокрита.
5. Знаходження опорного плану перевезень у транспортній таблиці.
Існує декілька методів знаходження опорного (початкового) плану перевезень:
1) північно-східного кута – застосовується частіше при виконанні розрахунків на ЕОМ;
2) метод найменшої вартості;
3) метод подвійної переваги – дозволяє отримати план перевезень досить близький до оптимального і скоротити обсяг розрахунків у порівнянні з методом північно-східного кута у середньому на 20-25%.
Суть вказаних методів у тому, щоб розподілити всі запаси вантажу і задовольнити всі потреби в ньому, при цьому кількість базисних (зайнятих) клітин має бути не більш, ніж r = m+n–1.
Дата добавления: 2015-12-22; просмотров: 1452;