ЛекцІя №5 транспортна задача ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

1. Постановка задачі.

Симплекс-метод вирішення ОЗЛП являється універсальним і може бути застосованим для рішення будь-яких задач такого типу. Однак існують деякі типи задач лінійного програмування, які допускають більш просте рішення. До таких задач відноситься транспортна задача.

Нехай є m пунктів відправлення (ПВ) A1, A2, … Am, в яких сконцентровані запаси певного однорідного вантажу в кількості, відповідно a1, a2, … am одиниць. Також є n пунктів призначення (ПП) B1, B2, … Bn з потребами у цьому вантажі, відповідно: b1, b2, … bn одиниць.

Припускається, що (транспортна задача є „закрита” або „збалансована”). Відома вартість cij перевезення одиниці вантажу від кожного пункту відправлення Ai до кожного пункту призначення Bj. Таблиця (матриця) вартості cij перевезень задана:

Необхідно скласти такий план перевезень, при якому всі потреби у вантажі були б виконані, а загальна вартість перевезень була б мінімальна. Така постановка являє собою транспортну задачу по критерію вартості (можлива по критерію часу).

 

2. Формалізація задачі.

 

Введемо позначення:

xij – кількість вантажу, що відправляється з i-го пункту відправлення Ai в j-й пункт призначення Bj. Невід’ємні значення xij (кількість яких m×n) повинні задовольняти наступним умовам (обмеженням):

1) загальна кількість вантажу, що направляється з кожного пункту відправлення в усі пункти призначення, повинна дорівнювати запасу вантажу в цьому ПВ, тобто:

(1)

2) загальна кількість вантажу, що доставляється в кожний ПП з усіх ПВ, повинна дорівнювати потребам цього ПП., тобто:

(2)

3) Загальна вартість всіх перевезень повинна бути мінімальною, тобто:

Функція L та обмеження (1) і (2) лінійні, так що це є типова задача лінійного програмування. Особливості транспортної задачі дозволяють вирішити її більш простим способом, ніж симплекс-методом:

1) всі коефіцієнти при змінних в обмеженнях (1) і (2) дорівнюють 1;

2) не всі з m+n є незалежними, оскільки , через що в транспортній задачі базисних змінних m+n–1, а вільних mn – (m+n-1) = (m-1)(n-1).

 

3. Основні визначення.

1) значення xij одиниць вантажу, що направляється з пункту відправлення Ai в пункт призначення Bj будемо називати перевезенням.

2) будь-яку сукупність значень xij будемо називати планом перевезень.

3) план перевезень будемо називати допустимим, якщо він задовольняє балансовим умовам (1) і (2) – всі запаси вивезені, всі потреби задовільнено.

4) допустимий план перевезень будемо називати опорним, якщо в ньому ненульових перевезень (базисних змінних xij) r = m+n–1, а інші перевезення (змінні) дорівнюють нулю.

5) план перевезень будемо називати оптимальним, якщо він серед всіх допустимих планів призводить до найменшої загальної вартості перевезень.

 

4. Транспортна таблиця.

На відміну від симплекс-метода, вирішення транспортної задачі зводиться до більш простих операцій, які виконуються в таблиці, що називається транспортною(табл. 1). В такій таблиці в певному порядку записують умови транспортної задачі, в т.ч.:

1) пункти відправлення Ai та пункти призначення Bj. При цьому кожному з m рядків ставиться у відповідність певний ПВ Ai, а кожному стовпцю – певний ПП Bj;

2) запаси вантажу ai, що є в кожному пункті відправлення записуються в останньому стовпці;

3) потреби у вантажі bj, що є в кожному пункті призначення записуються в останній рядок;

4) вартість перевезення cij одиниці вантажу з кожного ПВ Ai в кожний ПП Bj записуються в верхньому лівому кутку клітини на перетині відповідних i-го рядка та j-го стовпця.

5) кількість одиниць вантажу xij, що перевозиться з ПВ Ai в ПП Bj записується у відповідній клітині у правому нижньому куті.

Таблиця 1

  B1 B2 ... Bj ... Bn Запаси ai
A1 c11 x11 c12 x12   c1j x1j   c1n x1n a1
A2 c21 x21 c22 x22   c2j x2j   c2n x2n a2
           
Ai ci1 xi1 ci2 xi2   cij xij   cin xin ai
           
Am cm1 xm1 cm2 xm2   cmj xmj   cmn xmn am
Потреби bj b1 b2 bj bn

Клітини транспортної таблиці, в яких записані відмінні від нуля перевезення називаються базисними, інші (порожні) – вільні. Кількість базисних клітин в опорному, а, значить, і в оптимальному, плані має бути r = m+n–1.

Таким чином, рішення транспортної задачі зводиться до наступного: знайти такі невід’ємні значення перевезень (базисних змінних), які б задовольняли таким умовам:

1) сума перевезень по кожному рядку повинна дорівнювати запасу вантажу у даному пункті відправлення;

2) сума перевезень по кожному стовпцю повинна дорівнювати потребам відповідного пункту призначення;

3) загальна вартість усіх перевезень повинна бути мінімальною.

 

Транспортна таблиця з порушенням балансу.

Якщо сумарні запаси вантажу у пунктах відправлення не співпадають з сумарними потребами в цьому вантажі в пунктах призначення, то має місце відкрита транспортна задача. Відкриту транспортну задачу зводять до закритої шляхом введення фіктивного пункту призначення або пункту відправлення.

1) транспортна задача з надлишком запасів: . В цьому випадку вводять фіктивний пункт призначення Bф (додатковий стовпець) з потребами: , вартість перевезення одиниці вантажу в фіктивний пункт призначення ciф=0. Перевезення xiф з Ai в Bф означає, що в пункті відправлення Ai залишились невикористані (невідправлені) запаси вантажу у кількості xiф одиниць.

2) транспортна задача з надлишком потреб: . В цьому випадку вводять фіктивний пункт відправлення Aф (додатковий рядок) з запасами: , вартість перевезення одиниці вантажу з фіктивного пункту відправлення cфj=0. Перевезення xфj з Aф в Bj означає, що в пункті призначення Bj частина потреб у розмірі xфj одиниць вантажу залишилась непокрита.

 

5. Знаходження опорного плану перевезень у транспортній таблиці.

 

Існує декілька методів знаходження опорного (початкового) плану перевезень:

1) північно-східного кута – застосовується частіше при виконанні розрахунків на ЕОМ;

2) метод найменшої вартості;

3) метод подвійної переваги – дозволяє отримати план перевезень досить близький до оптимального і скоротити обсяг розрахунків у порівнянні з методом північно-східного кута у середньому на 20-25%.

Суть вказаних методів у тому, щоб розподілити всі запаси вантажу і задовольнити всі потреби в ньому, при цьому кількість базисних (зайнятих) клітин має бути не більш, ніж r = m+n–1.

 








Дата добавления: 2015-12-22; просмотров: 1439;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.