Глава III. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОЙ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В энергетике, в практике центрального отопления, водоснабжения и т.п. часто встречаются стационарные режимы теплопроводности. В этом случае все функции в уравнении теплопроводности и в граничных условиях не зависят от времени τ. Уравнение теплопроводности переходит тогда в уравнение Пуассона и принимает вид

Рассмотрим далее некоторые часто встречающиеся в энергетике, химической и металлургической промышленности, строительной теплотехнике и т.д. задачи стационарной теплопроводности.

1.Стационарная теплопроводность в плоской однослойной однородной бесконечной пластине[3] без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях I рода на противоположных плоскостях

В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности представляет собой уравнение Лапласа (в декартовых координатах)

Граничные условия в данной задаче выглядят следующим образом

(см. рис. III.1)

Используя самые общие соображения симметрии задачи – однородность по отношению к выбору начала координат (точка 0) и параллельному переносу оси (0,x) а также изотропность, т.е. инвариантность задачи по от-ношению к поворотам на любой угол вокруг выбранной оси (0,x), можно однозначно заключить, что изотермические поверхности в данной задаче будут представлять собой плоскости, перпенди-кулярные оси x, т.е. искомая функция температуры будет зависеть только от одной пространственной переменной, а именно, только от x. В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности преобразуется в простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

общее решение которого представляется линейной функцией

Произвольные постоянные находятся из граничных условий , после чего стационарное распределение температур в плоской пластине без внутренних источников теплоты представляется линейной зависимостью

Плотность теплового потока через стенку вычисляется на основании закона Био-Фурье . В одномерном случае имеем

2.Стационарная теплопроводность в плоской однослойной однородной бесконечной пластине без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях III рода на противоположных плоскостях

В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности остаётся тем же, что и в предыдущем примере, т.е. с тем же общим решением в виде линейной зависимости , однако поиск произвольных постоянных C₁ и C₂ должен осуществляться с использованием граничных условий III рода , которые в данном случае принимают вид

Используя общее решение , получаем систему алгебраических уравнений для нахождения C₁ и C₂ (обозначения см. на рис. 3)

Находя отсюда C₁ и C₂ и подставляя в находим распределение температур в однослойной плоской стенке

Отсюда находим:

– плотность теплового потока

– температуры граничных плоскостей пластины

Величина

носит название коэффициента теплопередачи через плоскую стенку. С учётом этого определения

Отступление. Электротепловая аналогия (ЭТА)

По определению, аналогичныминазываются различные физические явления, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями с одинаковыми условиями однозначности (с возможными различными обозначениями).

В качестве примера аналогичных явлений можно привести математические записи закона тяготения Ньютона и закона Кулона для случая взаимодействия двух противоположно заряженных электрических зарядов.

Идея электротепловой аналогии (ЭТА) состоит в том, что дифференциальное уравнение Дж. К. Максвелла для электрического потенциала в сплошной электропроводящей среде

и уравнение теплопроводности по виду совпадают друг с другом с точностью до обозначений для стационарных задач

Стационарное уравнение для электрического потенциала φ базируется на известном законе Ома

Совершенно аналогичным образом стационарное уравнение теплопроводности базируется на аналогичном линейном законе Био-Фурье , которое в линейных одномерных задачах для однородных сред имеет вид (см. )

Выражение также имеет вид закона Ома для трёх последовательно соединённых электрических сопротивлений

Здесь носит название термического сопротивления теплопроводности, а – термического сопротивления теплоотдачи.

По аналогии с теорией постоянного электрического тока термическое сопротивление теплопроводности может рассматриваться как электрическое сопротивление проводника, а термическое сопротивление теплоотдачи как контактное электрическое сопротивление.

Таким образом, в соответствии с ЭТА, задача стационарной теплопроводности через плоскую однослойную стенку при граничных условиях III рода (см. рис. 3) сводится к эквивалентной задаче расчёта электрической цепи, составленной из трех последовательно соединённых электрических сопротивлений.

3.Стационарная теплопроводность в плоской многослойной бесконечной пластине без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях III рода на противоположных плоскостях

Электротепловая аналогия (ЭТА) позволяет легко осуществить обобщение предыдущей задачи на многослойную плоскую стенку при граничных условиях III рода. На рис. III.2 представлена эквивалентная электрическая схема данной задачи.

Используя законы постоянного электрического тока, в частности, правило вычисления полного сопротивления как суммы последовательно соединённых сопротивлений и одинаковость постоянного электрического тока во всех сопротивлениях, получаем

Вспомнив, что в теории постоянного электрического тока падение напряжения на сопротивлении равно произведению тока и сопротивления, в тепловой задаче аналогичным образом имеем

Естественно, что возможны также другие (многочисленные) комбинации связи температур в различных точках эквивалентной схемы. В любом случае температуры в точках i и j связаны между собой соотношением

Замечание

Из записи закона Био-Фурье и гипотезы Ньютона-Рихмана для одномерного случая с учётом геометрического смысла первой производной

следует, что при заданной плотности теплового потока тангенс угла наклона температурной прямой в координатах обратно пропорционален теплопроводности материала пластины, а скачок температуры на границах стенки обратно пропорционален коэффициентам теплоотдачи. Это обстоятельство позволяет корректным образом изобразить качественную картину одномерного стационарного распределения температур в плоской многослойной стенке без внутренних источников теплоты. На рис. III.3 показан пример трёхслойной стенки с заданным соотношением коэффициентов теплопроводности материала слоёв и коэффициентов теплоотдачи .

4.Стационарная теплопроводность в бесконечной однослойной цилиндрической стенке без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях I рода на противоположных поверхностях

В предположении аксиальной и угловой симметрии задачи её математическая постановка выглядит следующим образом

Решение этой задачи с учётом граничных условий есть

т.е. стационарное радиальное распределение температур в цилиндрической стенке представляется не линейной, а логарифмической зависимостью.

Тогда плотность теплового потока в соответствии с определением радиальной составляющей градиента температур будет по определению равна

Здесь следует отметить, что в случае цилиндрической стенки плотность теплового потока уже не является постоянной величиной. Это объясняется тем, что при возрастании текущего радиуса цилиндрической поверхности общий (полный) тепловой поток уже приходится на большую площадь, вычисляемую по формуле . В практических задачах теплообмен, теплопотери, теплоснабжение обычно относят к единице длины трубы. В этом случае тепловой поток через цилиндрическую стенку (трубу) длиной 1 м определится как

Величина с размерностью имеет смысл теплового потока, приходящегося на единицу длины цилиндрической стенки (трубы). Эту величину обычно называют линейной плотностью теплового потока. В соответствии с этим определением тепловой поток через боковую поверхность цилиндрической стенки (трубы длиной l) определится произведением

На рис. III.4 приведено графическое представление решаемой задачи.

5.Стационарная теплопроводность в бесконечной однослойной цилиндрической стенке без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях III рода на противоположных поверхностях

Используя граничные условия III рода в расчёте на единицу длины трубы, имеем систему алгебраических уравнений

Воспользовавшись ЭТА, легко находим

где

есть по определению коэффициент теплопередачи для цилиндрической стенки.

Обобщение на многослойную цилиндрическую стенку в соответствии с ЭТА осуществляется стандартным образом и даёт следующее выражение для коэффициента теплопередачи

Графическое представление задачи стационарной теплопроводности через многослойную цилиндрическую стенку с соответствующими обозначениями приведено на рис. III.5.

Заметим, что в случае тонкой цилиндрической стенки, т.е. если

в линейном приближении

получаем

т.е. цилиндрическая задача переходит в плоскую .

6.Критический диаметр изоляции

Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности через многослойную цилиндрическую стенку , , предположив возможность изменения толщины (диаметра) внешнего слоя, контактирующего с внешней текучей средой. Здесь подразумевается технология теплоизоляции цилиндрических труб с целью уменьшения теплопотерь.

Выделив явным образом внешний слой в , для линейного теплового потока имеем

Предполагая здесь постоянными все величины, кроме , запишем линейный тепловой поток в виде

где использованы общепринятые обозначения для диаметра изоляции, теплопроводности материала изоляции и коэффициента теплоотдачи с наружной поверхности.

Легко видеть, что изменение диаметра изоляции двояким образом влияет на теплопотери: логарифмическое слагаемое в знаменателе возрастает с увеличением диаметра изоляции, приводя к уменьшению теплопотерь, в то время как третье слагаемое в знаменателе уменьшается, вызывая тенденцию к увеличению теплосъёма. Это объясняется тем, что увеличение толщины изоляции приводит к увеличению термического сопротивления теплопроводности, но это же ведёт к увеличению наружной поверхности теплосъёма. Очевидно, что эти два противоборствующих фактора должны привести к наличию экстремума функции . Следуя стандартной процедуре поиска координаты экстремума функции одной независимой переменной, имеем

Это алгебраическое уравнение имеет два корня

Тип экстремальной точки (максимум или минимум) определяется знаком второй производной, которая с учётом равна

Подставив сюда , получим

т. е. при линейная плотность теплового потока максимальна.

На рис. III.6 изображена зависимость для двух различных случаев , откуда следует, что в случае I нанесение теплоизоляции сначала приводит к увеличению теплопотерь, и лишь при тепловой поток начинает уменьшаться.

Эффект увеличения теплопотерь при нанесении теплоизоляции в определённых пределах толщин изоляционных слоёв является, конечно, вредным, однако этот эффект проявляется весьма редко в строительной и энергетической практике, где диаметры цилиндрических поверхностей (труб) в большинстве случаев значительны. В случае же цилиндрических поверхностей малого диаметра (капиллярные трубки, электрические провода) критический диаметр изоляции зачастую превышает диаметр изолируемой поверхности, и эффект этот может быть использован и используется для увеличения теплосъёма, в частности, в обмотках электрических агрегатов большой мощности (электродвигатели, электрогенераторы).

7.Стационарное температурное поле в бесконечном однородном сплошном цилиндре с внутренними источниками тепла с цилиндрической симметрией при однородных граничных условиях III рода на наружной поверхности

В данном случае математическая постановка задачи (см. ) выглядит следующим образом (схема задачи представлена на рис. III.7)

В качестве второго граничного условия в силу симметрии может быть выбрано либо неравенство бесконечности температуры на оси цилиндра, либо отсутствие теплового потока на оси цилиндра, т.е.

Общее решение дифференциального уравнения есть

Граничное условие на оси цилиндра даёт C₁ = 0, а граничное условие на поверхности цилиндра записывается в виде

откуда находится C₂ , которая, будучи подставленной в , даёт температурное поле для решаемой задачи

При однородном тепловыделении, т.е. когда , последовательное интегрирование в даёт параболическое радиальное распределение температур в сплошном цилиндре с внутренними источниками теплоты

где

есть так называемый критерий (число) Био для цилиндра.

Температуры на оси цилиндра и на его поверхности равны соответственно

Для корректного изображения радиального распределения температур составим отношение

из которого следует, что при малых значениях критерия Био (большая теплопроводность материала стержня и/или малый коэффициент теплоотдачи) температура в стержне в радиальном направлении меняется незначительно по сравнению с перепадом температур в пограничном слое вблизи поверхности стержня. И напротив, при больших значениях критерия Био перепад температур в стержне велик по сравнению с перепадом температур в пограничном слое. Эти два варианта представлены на рис. III.7.

8.Стационарная теплопроводность вдоль прямого стержня конечной длины в одномерном приближении при однородных граничных условиях III рода на наружной поверхности

Задача вычисления теплового потока вдоль стержня (определение стержня дано в сноске 3 на стр. 15) представляет практический интерес в проблеме охлаждения теплонапряжённых поверхностей с применением оребрения, охлаждения радиоэлектронного оборудования и т. п.

Пусть прямой стержень конечной длины и переменного поперечного сечения (см. рис. III.8) находится в условиях, когда один из его торцов (на рисунке левый) поддерживается при постоянной по сечению "заделки" температуре , а боковая поверхность и другой его торец (правый) охлаждаются путём конвективного теплообмена жидкостью с температурой при постоянных по длине стержня и на его торце коэффициентах теплоотдачи , значения которых в данной задаче будем считать заданными.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в данном случае записывается в виде

с граничными условиями, которые в общем виде представляются в данной задаче в виде

Ясно, что точное решение этой задачи, даже если это возможно, не представляет большого практического интереса, так как обычно интересуются распределением температуры вдоль стержня, а не в его поперечных сечениях. Тем более можно с достаточной степенью точности пренебречь неравномерностью температурного поля в поперечных сечениях, если теплопроводность материала стержня достаточно велика (см. рис. III.7). Тогда температуру можно считать зависящей только от одной координаты x, направленной вдоль продольной оси стержня. Второе граничное условие в при этом становится неопределённым

Эта неопределённость снимается перепостановкой задачи – . Для этого выделим элемент длины стержня (см. рис. 10) и запишем для него баланс теплоты, который для стационарного режима принимает вид

Используя определение плотности теплового потока и гипотезу Ньютона-Рихмана, последнее выражение записывается в развёрнутом виде

Здесь – соответственно площадь и периметр поперечного сечения стержня, функции которых считаются заданными, Разделив обе части на и переходя к пределу , получаем

Далее, используя закон Био-Фурье для одномерного случая, приходим к дифференциальному уравнению теплопроводности при перечисленных выше допущениях

В качестве граничных условий для этого обыкновенного квазилинейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка положим

где l – длина стержня; – коэффициент теплоотдачи на торцевой плоскости стержня.

Введя относительную температуру согласно определению

задачу – запишем в более компактной форме (аргумент x опускаем)

В качестве приложений рассмотрим некоторые одномерные задачи стационарной теплопроводности вдоль стержней и рёбер.

А. Теплопроводность вдоль стержня постоянного поперечного сечения и формы, т. е. . Задача принимает тогда вид

Общее решение дифференциального уравнения есть

Граничные условия в приводят к системе двух линейных алгебраических уравнений для вычисления произвольных постоянных , а именно

Решение этой системы даёт следующее распределение температур по длине стержня

С использованием определения гиперболических функций

решение записывается в более компактном виде

В большинстве практических случаев комплекс , что позволяет пренебречь в слагаемыми с гиперболическими синусами. В этом приближении точное решение записывается в более упрощённой форме, которая наиболее часто применяется в практических расчётах,

Этот случай предполагает отсутствие теплового потока с торцевой поверхности стержня – второе условие в . Заметим, что уравнение носит название цепной линии.

Качественная зависимость вдоль стержня представлена на рис. III.9.

Температура на свободном конце стержня

Полный стационарный тепловой поток через стержень может быть вычислен двумя способами: либо с использованием закона Био-Фурье (дифференцированием аксиального распределения температур ), либо интегрированием линейной плотности теплового потока с боковой поверхности, т. е.

Параллельные вычисления приводят к следующему результату

Из этого выражения следует, что тепловой поток через стержень пропорционален, кроме прочих величин, коэффициенту теплопроводности материала стержня . Вычислим предел

Отношение

носит название эффективности работы ребра (стержня).

Вычислим далее тепловой поток, который бы снимался с пятна контакта стержня с поверхностью заделки в отсутствие стержня

Разделив на с учётом , получим

где носит название коэффициента оребрения. С учётом того, что в практических приложениях , оребрение охлаждаемой поверхности всегда приводит к увеличению теплосъёма. При этом следует иметь в виду, что прибегать к оребрению необходимо с той стороны стенки, где коэффициент теплоотдачи меньше. В самом деле, записав полный дифференциал коэффициента теплопередачи по коэффициентам теплоотдачи и переходя к конечным изменениям, имеем

откуда легко видеть, что повышение меньшего коэффициента теплоотдачи оказывает большее влияние на повышение коэффициента теплопередачи, нежели повышение коэффициента теплоотдачи .

Таким образом, оребрение поверхности видоизменяет выражение для коэффициента теплоотдачи

Б. Теплопроводность вдоль стержня в форме прямого круглого усечённого конуса

В этом случае (см. рис. III.10)

Имеем

Задача принимает тогда вид

Введя безразмерную независимую переменную и безразмерную температуру соотношениями

запишем задачу теплопроводности в безразмерном виде

где введены обозначения

Заменой независимой переменной

задача приводится к виду

Общее решение дифференциального уравнения в выражается через функции Бесселя (цилиндрические функции) первого и второго рода первого порядка от мнимого аргумента (см. справочники: 1)Рыжик, Градштейн; 2) Камке)

Используя формулы дифференцирования и рекуррентные соотношения для функций Бесселя (см. справочник Бронштейн, Семендяев), находим

Используя эти результаты и граничные условия в , получаем алгебраическую систему уравнений для нахождения произвольных постоянных

где .

Здесь использованы рекуррентные соотношения для бесселевых функций мнимого аргумента (см. справочник Бронштейн, Семендяев)

В частном случае, когда можно пренебречь тепловым потоком с торца конического стержня ( ), комплекс , и система уравнений упрощается, таким образом что

откуда для данного случая находим распределение температур по длине стержня конечной длины конической конфигурации

В предельных случаях неусечённого конуса и прямого цилиндра формула приводит к неопределённостям вида соответственно. Используя асимптотические разложения функций Бесселя при больших значениях аргумента (см. Бронштейн, Семендяев)

и применяя правило Лопиталя, после громоздких вычислений получаем

Заметим, что второе выражение в полностью совпадает с полученным ранее выражением для стержня с постоянным сечением.

Тепловой поток через стержень вычисляется согласно , при этом для сечения имеем

или с заменой переменной с учётом и

Используя и , находим производную и затем тепловой поток через стержень конической конфигурации

В предельных случаях имеем соответственно

В. Теплопроводность вдоль круглого ребра постоянной толщины

Оребрение поверхностей для увеличения теплосъёма с теплонапряжённых поверхностей весьма распространено в автомобильной промышленности, в химической технологии, в энергетике и т. д. И чаще всего охлаждающие рёбра имеют форму плоских дисков (см. рис. III.11).

В этом случае площадь поперечного сечения , периметр поперечного сечения . Здесь – толщина диска. Задача стационарной теплопроводности вдоль круглого ребра постоянной толщины в пренебрежении теплопотерь с торцевой поверхности ребра принимает вид

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, есть

Относительная температура внешнего среза ребра будет тогда

Тепловой поток через цилиндрическое ребро постоянной толщины

Г. Теплопроводность вдоль круглого ребра постоянной площади кольцевого поперечного сечения

В случае круглого ребра постоянной площади кольцевого поперечного сечения (см. рис. 14) площадь кольцевого сечения равна , а периметр кольцевого сечения . Тогда задача стационарной теплопроводности вдоль кольцевого ребра в пренебрежении теплопотерь с торцевой поверхности принимает вид

Общее решение этого уравнения представляется комбинацией модифицированных функций Бесселя мнимого аргумента порядка , т.е.

Используя известные рекуррентные формулы и формулы дифференцирования модифицированных бесселевых функций

и граничные условия в постановке задачи , после несложных, но трудоёмких алгебраических преобразований получаем

Из этих соотношений находим относительную температуру на наружном радиусе ребра

и тепловой поток вдоль ребра

В заключение приведём полезные для численного счёта представления в виде рядов модифицированных функций Бесселя нецелого порядка