ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ 8 страница

Для описания узкополосного сигнала используется и комплекс­ная форма записи

 

 

(8.2)

где

 

(8.3)

- комплексная огибающая сигнала.


 

Рис. 8.1

 

Как следует из (8.2), узкополосный сигнал определяется несу­щей частотой ω0 и комплексной огибающей V(t).

Комплексная огибающая сигнала может быть представлена в виде

(8.4)

где Vc(t) = V(t)cosφ(t), Vs(t) = V(t)sinφ(t) - квадратурные состав­ляющие сигнала.

С учетом (8.4) получим

Где


 

Графически комплексный сигнал V(t) изображается в виде век­тора на комплексной плоскости длины V(t) (рис. 8.1,6). Вектор со­ставляет угол φ(t) с действительной осью. Длина вектора V(t) и угол между вектором и действительной осью φ(t) изменяются во време­ни. Сама система координат вращается по часовой стрелке с угло­вой скоростью φ0. Узкополосному сигналу соответствует проекция вектора на действительную ось.

8.2. Сумма и произведение узкополосных сигналов

При анализе узкополосных сигналов, в частности, при анализе прохождения их через цепи, в ряде случаев приходится рассматри­вать сумму узкополосных сигналов и их произведение. Запишем выражения, описывающие их.

Сумма двух узкополосных сигналов с одинаковой несущей час­тотой ω0

(8.5)

представляет также узкополосный сигнал с той же частотой ω0

(8.6)

Выражение для u(t) с использованием комплексной формы мож­но записать в виде

(8.7)

гдeV^(t), V2(t) - комплексные огибающие сигналов u1(t), u2(t).

Комплексная огибающая суммарного сигнала равна сумме ком­плексных огибающих исходных сигналов

(8.8)

Огибающая суммарного сигнала определяется выражением

(8.9)

Произведение двух узкополосных сигналов с несущими частота­ми ω1 И ω2


 

запишем в виде

(8.10)

Для произвольных комплексных величин z1 и z2 имеет место следующее равенство:

(8.11)

где z - комплексно-сопряженная величина.

С учетом (8.11) для произведения узкополосных сигналов получим

(8.12)

Произведение узкополосных сигналов представляет сумму двух сигналов (8.12), один из которых имеет несущую частоту, равную сумме частот ω1 и ω2 , а второй имеет несущую частоту, равную разности частот ω1 и ω2 .

8.3. Спектр узкополосного сигнала

Спектральная плотность узкополосного сигнала u(t) определяет­ся его преобразованием Фурье

(8.13)

Действительную часть комплексной величины z можно предста­вить в виде

(8.14)

где z* - комплексно-сопряженная величина.

С учетом (8.14) из (8.13) получим

(8.15)

 

Величина

(8.16)

представляет спектральную плотность комплексной огибающей сигнала. Таким образом, спектральная плотность узкополосного сигнала определяется спектральной плотностью комплексной оги­бающей, соотношением, которое следует из (8.15)

(8.17)

Спектральную плотность комплексной огибающей можно пред­ставить в виде

(8.18)

где |U(ω)|, φу(φ) - амплитудный и фазовый спектры комплексной огибающей сигнала (рис. 8.2,а).

Спектр комплексной огибающей сосредоточен в области низких частот. Спектр узкополосного сигнала S(ω) получается путем пере­носа спектра комплексной огибающей U(ω) из окрестности нулевой частоты в окрестность несущей частоты ±ω0 (с коэффициентом 1/2), рис. 8.2,6.

(8.19)

Спектры в области положительных и отрицательных частот не должны заходить за начало координат, что и определяет условие узкополосности.

Примеры.

1 .Спектральной плотности комплексной огибающей сигнала (рис. 8.3,а)

где τu - параметр зависимости (длительность сигнала), соответствует спектральная плотность сигнала (ω > 0), рис. 8.3,6,

 

 


 

Рис. 8.2

 

2. Спектральной плотности комплексной огибающей сигнала (рис. 8.4,а)

где а - параметр зависимости,

соответствует спектральная плотность сигнала (ω>0), рис. 8.4,6,

 


 

Рис. 8.3

 

 

Рис. 8.4

8.4. Корреляционные функции узкополосных сигналов

Автокорреляционная функция сигнала определяется выражением

(8.20)

Для узкополосного сигнала

(8.21)

с учетом (8.11) из (8.20) получим

(8.22)

Функция V(t) является низкочастотной, медленно меняется в течение периода несущего колебания 2π/ω0. Вследствие этого зна­чение первого интеграла в (8.22) может быть принято равным нулю. Таким образом, выражение для автокорреляционной функции узко­полосного сигнала запишется в виде

(8.23)

где

(8.24)

Величина Rv(τ) представляет автокорреляционную функцию комплексной огибающей сигнала. Так как V(t) является комплекс­ной величиной, то в общем случае Rv(τ) представляет комплексную функцию. Автокорреляционная функция узкополосного сигнала R(x) является действительной. Соотношение, связывающее ее с авто­корреляционной функцией комплексной огибающей (8.23), анало­гично тому, которое связывает узкополосный сигнал с его ком­плексной огибающей. Часто целесообразно сначала определить


 

автокорреляционную функцию комплексной огибающей сигнала, а затем перейти к корреляционной функции узкополосного сигнала.

Примеры.

1. Корреляционной функции комплексной огибающей сигнала (рис.8.5)

где τи - длительность сигнала,

соответствует корреляционная функция узкополосного сигнала (τ > 0)

2. Корреляционной функции комплексной огибающей сигнал (рис.8.6)

где а - параметр зависимости, соответствует корреляционная функция узкополосного сигнала

Рис. 8.5

 

Раздел 8

Рис.8.6

 

Взаимная корреляционная функция двух узкополосных сигналов, имеющих одинаковую несущую частоту ωо,

(8.25)

определяется выражением

(8.26)

Подставляя (8.25) в (8.26), с учетом (8.11) получаем

(8.27)

В (8.27) величина


 

 

(8.28)

представляет взаимную корреляционную функцию комплексных огибающих сигналов. Соотношение, связывающее ее с взаимной корреляционной функцией рассматриваемых узкополосных сигна­лов, имеет вид, аналогичный (8.23)

(8.29)

При использовании свойства преобразования Фурье, можно по­лучить соотношение, связывающее автокорреляционную функцию комплексной огибающей сигнала Rv(τ) со спектральной плотностью энергии Wv(ω)

(8.30)

(8.31)

При τ = 0 имеем

(8.32)

С учетом (8.24) и (8.32) можем записать

(8.33)

что представляет равенство Парсеваля для комплексных огибаю­щих узкополосных сигналов.

Выражение для спектральной плотности энергии узкополосного сигнала запишем в виде

(8.34)

 

 


 

 

Из (8.34) аналогично (8.17) получим

(8.35)

где Wv(ω}~ спектральная плотность энергии комплексной огибаю­щей

(8.36)

Спектральная плотность энергии комплексной огибающей явля­ется действительной величиной, поэтому в (8.35) отсутствует обо­значение комплексно сопряженной величины второго слагаемого. Как следует из (8.36), спектральная плотность энергии узкополосно­го сигнала имеет две составляющие - в области положительных частот 1/2Wv(ω-ω0) и отрицательных частот 1/2Wv(ω-ω0) .

Соотношения, аналогичные (8.30) и (8.31), связывают взаимную корреляционную функцию с взаимной спектральной плотностью энергии комплексных огибающих узкополосных сигналов

(8.37)

(8.38)

 

8.5. Аналитичесий сигнал

При анализе узкополосных сигналов в ряде случаев пользуются понятием аналитического сигнала. Аналитический сигнал опреде­ляется как

(8.39)

 

где u(t) - узкополосный сигнал, описываемый (8.1); u(t)- сигнал, сопряженный с u(t) по Гильберту

(8.40)


 

Аналитический сигнал, как комплексная величина, определяется модулем IZ(t)l и аргументом φz(t)

(8.41)

Для сигнала

(8.42)

сопряженный сигнал, определяемый (8.40), равен

(8.43)

С учетом (8.42) и (8.43) выражение для аналитического сигнала (8.39) получим в виде

(8.44)

Модуль аналитического сигнала равен огибающей узкополосного сигнала

(8.45)

а аргумент фазе

(8.46)

С учетом (8.45) и (8.46) выражение (8.41) можем записать в виде

(8.47)

Таким образом, аналитический сигнал представляет комплекс­ный сигнал, введенный при описании узкополосного сигнала (8.2).

 

8.6. Обобщенная корреляционная функция сигнала

Для характеристики точности и разрешающей способности ра­диолокационных систем используется обобщенная корреляционная функция. Она определяется как корреляционная функция ком­плексных огибающих узкополосных сигналов с различной частотой (как правило, без коэффициента 1/2).

Комплексные огибающие узкополосных сигналов u1(t) и u2(t), от­личающихся только сдвигом несущей частоты Ω, при Ω<<ω0, пред­ставим в виде


 

 

(8.48)

С учетом (8.48) от определения взаимной корреляционной функции комплексных огибающих узкополосных сигналов перейдем к выражению для обобщенной корреляционной функции

(8.49)

Функция R(τ,Ω) связана со спектральными плотностями огибаю­щих сигналов соотношением

(8.50)

Функция R(τ, Ω) характеризует разрешающую способность сис­темы, в которой используется рассматриваемый сигнал, поэтому ее называют также функцией неопределенности.

При Ω = 0 имеем

(8.51)

или

(8.52)

Функция R(τ, 0) является функцией неопределенности по даль­ности. Она равна удвоенной величине автокорреляционной функ­ции комплексной огибающей сигнала. Максимальное значение по­лучается при τ = 0. Чем больше значение \R(t, 0)\ отличается от \R(0, 0)\, тем легче могут быть различены две цели, отличающиеся запаздыванием отраженного сигнала т. Обычно разрешение целей характеризуется квадратом функции неопределенности \R(τ,Ω)\2. Постоянная разрешения по запаздыванию определяется как

(8.53)

 


 

Используя спектральную плотность комплексной огибающей сигнала и учитывая равенство Парсеваля, (8.53) можем записать в виде

(8.54)

При х =0 функция неопределенности равна

(8.55)

или

(8.56)

Постоянная разрешения по частоте определяется аналогично постоянной разрешения по запаздыванию

(8.57)

Функция неопределенности дает возможность оценить степень различения сигналов, отличающихся значениями запаздывания τ и частоты Чем ближе |R(τ, Ω)| по значению к |R(0,0)|, тем труднее различаются сигналы, отличающиеся запаздыванием х и частотой Ω.

Мерой совместной разрешающей способности по запаздыванию и частоте может служить эффективная площадь неопределенности

(8.58)

 

 


 

В качестве примеров рассмотрим функции неопределенности некоторых видов сигналов.

1. Сигнал с прямоугольной огибающей и постоянной частотой. Выражение для функции неопределенности имеет вид:

Из него получим

Модуль функции неопределенности

При Ω = 0 При т = 0

2. Сигнал с прямоугольной огибающей и линейно изменяющейся частотой (разд. 11)

Функция неопределенности описывается выражением


 

Из записанного выражения получим Модуль функции неопределенности

При Ω = О При τ = О

 

8.7. Дискретизация узкополосного сигнала

Принципы дискретизации непрерывного сигнала могут быть рас­пространены на узкополосный сигнал

(8.59)

Комплексная огибающая V(t), имеющая спектр, ограниченный частотой ∆ω/2 (рис.8.7), может быть представлена рядом Котель­никова

(8.60)

Коэффициенты ряда определяются как

(8.61)

период дискретизации выбирается из соотношения

(8.62)


 

 

Рис. 8.7

 

С учетом (8.60) и (8.61) выражение для узкополосного сигнала запишем в виде

(8.63)

Выражение (8.64) представляет ряд Котельникова для узкопо­лосного сигнала. Он описывает сигнал, спектр которого заключен в ограниченной полосе частот ∆ω. Ряд Котельникова для узкопо­лосного сигнала включает слагаемые, которые имеют вид моду­лированных колебаний с несущей частотой ωо, фазой φ(пТ) и оги­бающей

(8.64)

Если длительность сигнала равна Тс, то число интервалов раз­биения равно N =ТС/Т. Таким образом, ряд Котельникова для узко­полосного сигнала можем записать в виде

 


 

 

(8.65)

Выборочные значения сигнала задаются двумя параметрами V(nτ) и φ(nτ)

 

8.8. Модулированные сигналы

Узкополосными сигналами чаще всего являются модулирован­ные колебания. Модулированные колебания представляют высоко­частотные колебания, на которые накладываются низкочастотные, несущие информацию. Выбор несущей частоты высокочастотного колебания производится исходя из условий распространения ра­диоволн, приема их антеннами и ряда других факторов. Переда­ваемая информация содержится в сигнале, накладываемом на вы­сокочастотное колебание. Наибольшая частота спектра сигнала, содержащего информацию, должна быть значительно меньше не­сущей частоты. Процесс наложения сигнала, содержащего инфор­мацию, на высокочастотное колебание называется модуляцией. Сигнал, содержащий передаваемую информацию, называется мо­дулирующим. Модулируется несущее колебание путем изменения одного или нескольких параметров. Наиболее часто несущим коле­банием является гармоническое. Однако могут использоваться и другие виды колебаний, например, периодическая последователь­ность импульсов или шум. Гармоническое колебание можно моду­лировать по амплитуде, фазе или частоте. Модуляция по фазе или частоте носит название угловой модуляции. В дальнейшем рас­сматриваются гармонические колебания с различными видами мо­дулями.

 


 

Раздел 9.

 

АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

При амплитудной модуляции (AM) под воздействием модули­рующего (управляющего) сигнала, несущего информацию, изменя­ется амплитуда сигнала. Как правило, AM сигнал является узкопо­лосным, относительное изменение амплитуды за один период не­сущего колебания мало. Такие сигналы, узкополосные амплитудно- модулированные, и рассматриваются в настоящем разделе.

9.1.Описание AM сигнала

Узкополосный AM сигнал с гармоническим несущим колебанием описывается выражением (рис. 9.1,а)

(9.1)

где V(t) - амплитуда; ω00 -частота и начальная фаза несущего колебания.

Выражение для AM сигнала может быть записано также в ком­плексной форме

(9.2)

где V(t) = V(t)eiφ0 - комплексная огибающая сигнала; при φ0=0

комплексная огибающая сигнала V(t) совпадает с амплитудой V (t).

Графически комплексный сигнал можно изобразить в виде век­тора на комплексной плоскости. Длина вектора равна V(t), изме­няется во времени (рис. 9.1,6). Угол между вектором и действи­тельной осью постоянен и равен φ0. Система координат враща­ется по часовой стрелке с угловой скоростью ω0. Проекция векто­ра на действительную ось в каждый момент времени описывает AM сигнал u(t).


Рис. 9.1

 

9.2. Тональная амплитудная модуляция

При амплитудной модуляции амплитуда зависит от модулирую­щего сигнала s(t). Эта зависимость, как правило, линейная

(9.3)

где k- коэффициент пропорциональности.

Вид модулирующего сигнала определяет спектр AM сигнала. Простейший модулирующий сигнал - гармонический. При гармони­ческой или тональной модуляции AM сигнал описывается выраже­нием (рис. 9.2,а)

(9.4)

где М = ks0/V0 - коэффициент модуляции, М < 1, Ω ΘО – частота и начальная фаза гармонического модулирующего сигнала, Ω << ω0.

Исходя из (9.4), AM сигнал можно представить в виде суммы гармонических составляющих и определить спектр тонально AM сигнала

 

(9.4)


 

 

Рис. 9.2

 

Из (9.5) следует, что тонально AM сигнал включает три гармониче­ские составляющие: несущее колебание и два боковых с частотами AM сигнал включает три гармонические составляющие: несущее колеба­ние и два боковых с частотами Ω0 ± Ω . Графики амплитудного и фа­зового спектров приведены на рис. 9.2,6,в. Амплитудный спектр имеет четную симметрию относительно несущей частоты, а фазо­вый - нечетную относительно начальной фазы. Ширина спектра равна удвоенной частоте модуляции 2Ω .


 

Средняя мощность тонально AM сигнала может быть определе­на из (9.5) как сумма средних мощностей спектральных состав­ляющих

(9.6)

где Р0 - мощность несущего колебания; Рδ - мощность боковых составляющих.

Мощность боковых составляющих Рδ равна M2/2 от мощности несущего колебания Р0.

 

9.3. Многотональная амплитудная модуляция

Модулирующий сигнал, как правило, имеет сложный спектраль­ный состав (рис. 9.3). В этом случае AM сигнал можно записать в виде

(9.7)

где Ωnn - частоты модуляции (Ω12<...<Ωn <<ω0) и началь­ные фазы составляющих модулирующего сигнала;

(9.8)

Из (9.7) после преобразования получим представление сигнала в виде суммы гармонических составляющих

(9.9)

Анализ (9.9) показывает, что при многотональной модуляции AM сигнал содержит несущее колебание и полосы верхних и нижних боковых составляющих. Амплитудный спектр сигнала имеет четную симметрию относительно ω0 , фазовый - нечетную симметрию, от­носительно φ0 (рис. 9.4). Ширина спектра AM сигнала равна удво­енной максимальной частоте модуляции


Рис. 9.3

 

(9.10)

Выражение (9.9) и график спектра, приведенный на рис.9.4, по­казывают, что спектр модулирующего сигнала полностью отобра­жается в боковой полосе спектра AM сигнала. Боковые полосы яв­ляются зеркальными копиями одна другой. Это свидетельствует об избыточности передачи информации двумя боковыми полосами.

Средняя мощность AM сигнала при многотональной модуляции определяется из (9.9) как сумма средних мощностей несущего ко­лебания и боковых составляющих

(9.11)

Рис. 9.4

 


 

 

На долю всех боковых составляющих приходится

от мощности несущего колебания.

 

9.4. Амплитудная модуляция периодической последовательностью импульсов

Одним из видов многотональных AM сигналов является перио­дическая последовательность радиоимпульсов (рис. 9.5). Такой AM сигнал удобнее записать в виде








Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 1675;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.094 сек.