ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ 2 страница
Передача информации с помощью сигналов может производиться непрерывно во времени или в некоторые фиксированные моменты. В зависимости от характера передачи информации (непрерывно или дискретно) различают непрерывные или аналоговые и дискретные сигналы. Аналоговые сигналы повторяют или зависят от закона непрерывного изменения физических величин, информацию о которых они содержат; описываются непрерывными или кусочно-непрерывными функциями времени. Дискретные сигналы представляют последовательность коротких импульсов, амплитуды которых соответствуют мгновенным значениям непрерывного сигнала или соответствующей физической величины. Значения сигнала в выделенные моменты времени называются выборочными значениями или отсчетами. Дискретные сигналы (дискретные во времени), квантованные по уровню и представленные цифровым кодом, называются цифровыми сигналами. В связи с широким применением цифровой обработки цифровые сигналы становятся все более распространенным видом сигналов. При анализе цифровые сигналы чаще всего заменяются дискретными, а их отличие от цифровых интерпретируется как шум.
В зависимости от ширины спектра выделяют узкополосные и широкополосные сигналы. Узкополосным называют сигнал, спектр которого сосредоточен в относительно узкой (по сравнению со средней частотой) полосе. Понятие узкополосного сигнала является довольно условным. Однако с его введением связано удобство описания и анализа сигналов.
Для передачи информации на расстояние и в ряде других случаев используются высокочастотные колебания. Непосредственным носителем информации, как правило, является низкочастотный сигнал. Перенос информации на высокочастотное, несущее колебание производится в процессе модуляции. В качестве несущего, кроме высокочастотного колебания, может быть использована также периодическая последовательность импульсов. Таким образом, можно выделить немодулированные и модулированные сигналы. Модулированные сигналы представляют несущее колебание
(гармоническое колебание или периодическую импульсную последовательность), параметры которого изменяются под воздействием модулирующего (управляющего) сигнала. Возможна амплитудная, угловая и смешанная виды модуляции гармонического колебания. Понятие угловой модуляции объединяет два вида модуляции: фазовую и частотную. При модуляции импульсной последовательности выделяют: амплитудную, фазовую, частотную и модуляцию длительности импульсов (широтно-импульсную модуляцию). Возможны смешанные виды модуляции.
В качестве модулирующего сигнала может использоваться кодовая последовательность различных символов. Сигнал, получающийся в результате модуляции несущего колебания такой последовательностью, называется кодированным сигналом.
Приведенная краткая классификация сигналов не рассчитана на полноту охвата всего их разнообразия. Однако, помимо систематизации сигналов, она позволяет уяснить и принцип выбора структуры книги.
Раздел 2.
ОБОБЩЕННЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
Спектральный анализ сигналов основан на представлении сигнала в виде взвешенной суммы элементарных составляющих, в математическом плане - разложении функции, описывающей сигнал во временной области, в ряд по системе базисных функций. Такое разложение позволяет свести анализ сложного сигнала к анализу его более простых составляющих.
При разложении сигналов чаще всего используются: система тригонометрических функций, ортогональные системы многочленов, в первую очередь, Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, функций Уолша и др. При их применении для сигналов с ограниченной энергией обеспечивается средняя квадратичная сходимость ряда, в который раскладывается функция, описывающая сигнал.
Ортогональные системы функций полезны также при аппроксимации и интерполяции сигналов и их характеристик, находят применение при кодировании передаваемых сообщений, в вейвлетных преобразованиях и в ряде других случаев. Таким образом, анализ сигналов с использованием ортогональных систем функций имеет широкое приложение, является неотъемлемой частью общего анализа сигналов. Описание ортогональных систем функций используется в дальнейшем - в других разделах книги, частей 1 и 2.
В этом разделе рассматриваются наиболее распространенные ортогональные системы функций и их применение при спектральном анализе сигналов.
2.1. Обобщенный ряд Фурье
Функция, описывающая сигнал во временной области s(t), может быть представлена в виде взвешенной суммы базисных функций ортогональной системы {φn(t)}
(2.1)
где сn - постоянные коэффициенты.
Такое представление сигнала означает, что сигнал рассматривается как совокупность элементарных колебаний, взятых с соответствующими коэффициентами.
Для ортогональной на интервале [ta, tb] системы функций {φn(t)} выполняется следующее равенство
(2.2)
где ρ (t) — весовая функция; ||φn| - норма функций φn(t).
При ||φn|| = 1 система функций {φn(t} называется ортонормированной. Коэффициенты ряда (2.1) с учетом (2.2) могут быть определены как
(2.3)
Ряд, в который раскладывается функция s(t), сходится в среднем квадратичном, если выбранная система базисных функций является полной. Ортогональная система считается полной, если не существует никакой другой функции, не входящей в систему, которая была бы ортогональна ко всем функциям данной системы.
В обобщенный ряд Фурье может быть разложена любая функция, квадратично интегрируемая на интервале [ta, tb]. Это означает, что анализ с использованием обобщенного ряда Фурье может проводиться для сигналов с ограниченной энергией на рассматриваемом интервале. Разложение функции s(t) по ортогональной системе функций (2.1) называется обобщенным рядом Фурье. Совокупность коэффициентов разложения называется спектром сигнала в выбранной системе базисных функций.
Коэффициенты Фурье обладают следующим свойством. Любая частичная сумма ряда Фурье
(2.4)
наилучшим образом аппроксимирует функцию s(t). Это означает,
что средняя квадратичная ошибка такой аппроксимации сигнала с весом ρ (t)
(2.5)
имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, сопровождающими описание сигнала в виде (2.4) с коэффициентами, отличными от (2.3). Учитывая, что σ2N ≥ 0, из (2.5) получаем неравенство Бесселя
(2.6)
которое при N → ∞ переходит в равенство Парсеваля
(2.7)
Равенство (2.7) означает, что ряд (2.1) сходится в среднем квадратичном к функции s(t).
Некоторые ортогональные системы базисных функций, которые могут быть использованы при описании и анализе сигналов и их характеристик, приведены в табл. 1.3.
2.2. Спектральный анализ сигналов на основе системы тригонометрических функций
При анализе сигналов наиболее часто используется разложение временной функции, описывающей сигнал, в тригонометрический ряд Фурье (разложение по ортогональной системе тригонометрических функций). Сигнал представляется в виде взвешенной суммы гармонических составляющих. Спектральный анализ, основанный на таком представлении сигналов, называется гармоническим. Используемая система функций {cosnх, sinnх} является ортогональной и полной на интервале [-π,π]. Эта система периодическая, сохраняет свою ортогональность и полноту на любом интервале длительностью 2π.
Периодический сигнал s(t), имеющий частоту повторения можно представить в виде
(2.8)
где π=2π/T; Т - период сигнала.
Ортогональность базисных функций приводит к следующим равенствам:
(2.9)
С учетом (2.9) определяются коэффициенты разложения (2.8)
(2.10)
Предполагается, что функция s(t) является квадратично интегрируемой на интервале периодичности [- T/2, T/2]. Такие функции описывают сигналы с конечной мощностью.
От (2.8) можно перейти к несколько иной форме записи тригонометрического ряда Фурье
(2.11)
где
Периодический сигнал рассматривается как сумма гармонических составляющих с амплитудами Аn, и начальными фазами φn.
Совокупность амплитуд {Аn} -амплитудный спектр, а совокупность
начальных фаз {φn} -фазовый спектр сигнала. Спектры сигналов
Рис. 2.1
в базисе тригонометрических функций называются частотными спектрами.
Как следует из (2.11), спектры периодических сигналов являются дискретными или линейчатыми, интервал дискретизации по частоте определяется частотой сигнала (или его периодом Т,ω1 =2π/Т), рис. 2.1.
В качестве примера рассмотрим прямоугольное колебание (меандр), рис. 2.2,а. Для него из (2.10) получим
Рис. 2.2
Таким образом,
Переходя к форме записи (2.11), имеем (рис. 2.2,6)
2.3. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Лежандра
Система многочленов Лежандра {Pn(t)} ортогональна на интервале [-1, 1] с весом ρ(t) = 1. Многочлены Лежандра определяются выражением
(2.12)
Многочлены первых порядков (рис. 2.3):
P0(t)=l,
P1(t)=t,
P2(t)=1/2(3t2- 1),
P3(t)= 1/2(5t3-3t), (2.13)
P4(t)=1/8(35t4-30t2+ 3),
P5(t) = 1/8(63t5- 70t3+ 15t).
Условие ортогональности многочленов Лежандра записывается в виде
(2.14)
Функция s(t) раскладывается в ряд по многочленам Лежандра
(2.15)
с коэффициентами
Рис. 2.3
(2.16)
Совокупность коэффициентов (2.16) представляет спектр сигнала s(t) в базисе многочленов Лежандра.
В качестве примеров рассмотрим некоторые виды функций, описывающих сигналы во временной области.
1. Сигнал описывается степенным многочленом
где аn - постоянные коэффициенты.
Переходя к безразмерной величине х = 2t/τu, запишем
Разложим функцию в ряд по многочленам Лежандра
Приравнивая в левой и правой частях равенства коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями х, получим систему уравнений для определения коэффициентов сn.
При N = 2; а0 = 1; а1 = 0; а2 = -1, находим С0 = 2/3; С1 = 0; С2 = -2/3.
Косинусоидальный импульс
Переходя к безразмерной величине х = 2f / xu, запишем
Коэффициенты сп определяются выражением
Вычисляя интеграл получаем
2.4. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Чебышева
Многочлены Чебышева первого рода определяются выражением
(2.17)
Многочлены Tn(t) первых порядков (рис. 2.4):
T0(t) = 1,
T1(t) = t,
T2(t) = 2t2 - 1, (2.18)
T3(t) = 4f3 - 3f,
T4(t) = 8t4 - 8t2 + 1,
T5(t) = 16t5 — 20t3 + 5t.
Рис. 2.4
Многочлены Tn(t) ортогональны на интервале [-1, 1] с весом
1/√(1-t2)
(2.19)
Многочлены Чебышева второго рода Un(t) определяются через многочлены первого рода
(2.20)
Функция s(t) раскладывается в ряд по многочленам Tn(t) (2.21)
с коэффициентами
(2.22)
Совокупность коэффициентов (2.22) представляет спектр сигнала s(t) в базисе многочленов Чебышева.
Примеры разложения в ряд по многочленам Чебышева.
1. Функция
В ряде случаев разложение функции s(t)’no многочленам Чебышева на интервале [-1, 1] сводится к разложению функции s(cost) на интервале [-π, π] по косинусам. Для рассматриваемой функции используем известное соотношение
где In(а) - функция Бесселя.
Замена t = cosφ дает
Аналогично, из разложений по косинусам можно получить следующие разложения по многочленам Чебышева.
2. Сигнал s(t) = cosπt/τu,│t│<τu/2
3. Сигнал s(t) = sin2πt/τu,│t│<τu/2.
4. Сигнал s(t) = sign2t/τu,│t│<τu/2.
5. Сигнал s(t) = 2│t│/τu,│t│<τu/2.
2.5. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Лагерра
Многочлены Лагерра Ln(T) ортогональны на полуоси [0,∞) с весом ρ(t) = е-t. Определяются выражением
(2.23)
Многочлены Ln(t) первых порядков имеют вид:
Lo(t)= 1,
L2(t)=t2-4t+2, (2.24)
L3(t) = t3- 9t2 + 18t-6,
L4(t)=t4- 16t3 + 72t2- 96t + 24,
Ls(t)= ?5- 25?4+ 200?3- 600?2+ 600t- 120.
Условие ортогональности многочленов Лагерра:
При t→∞ многочлены Ln(t) расходятся. Поэтому при разложении сигналов обычно используют функции Лагерра
(2.25)
Графики Функций ln(t) первых порядков показаны на рис. 2.5. Функции ln(t) ортогональны и нормированы
(2.26)
Функция s(t) раскладывается в ряд по функциям Лагерра
(2.27)
с коэффициентами
Рис. 2.5
(2.28)
Совокупность коэффициентов (2.28) представляет спектр сигнала s(t) в базисе функций Лагерра.
Пример.
Сигнал описывается выражением s(t) = e-at - e-bt, t≥ 0.
Из (2.28) находим
2.6. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Эрмита
Многочлены Эрмита Hn(t) ортогональны на всей оси ( -∞,∞) с весом е -t. определяются выражением
(2.29)
Многочлены Hn(t) первых порядков:
H0(t)= 1,
H1(t) = 2t,
H2(t) = 4t2-2, (2.30)
H3(t) = 8t3-12t,
H4(t)= 16t4-48t2 + 12,
H5(t) = 32t5-160t3+ 120t.
Условие ортогональности многочленов Эрмита:
(2.31)
При t→±∞ многочлены Hn(t) расходятся. Поэтому при разложении сигналов удобнее использовать функции Эрмита
(2.32)
Графики функций hn(t) первых порядков показаны на рис. 2.6. Функции hn(t) ортогональны и нормированы
Разложение s(t) по функциям Эрмита
(2.33)
имеет коэффициенты
(2.34)
Совокупность коэффициентов (2.34) представляет спектр сигнала s(t) в базисе функций Эрмита
Пример.
Сигнал - гауссов импульс s(t) = е-at2
Рис. 2.6
Коэффициенты разложения определяются выражением
Вычисление интегралов дает
2.7. Спектральный анализ сигналов на основе функций Уолша
Спектральный анализ сигналов на основе функций Уолша находит практическое применение прежде всего при исследовании сигналов, формируемых в цифровых устройствах.
2.7.1. Системы функций Уолша
Функции Уолша являются кусочно-постоянными знакопеременными функциями, принимающими значения 1 или -1. Они определяются с помощью функций Радемахера rn(t) (рис. 2.13)
(2.35)
где n= 1,2,...- порядок функции; x=t/T, Т- интервал времени.
Функции Радемахера имеют вид меандра, ортонормированы. Все они являются нечетными относительно середины интервала
определения и не образуют полной системы, следовательно, не могут быть использованы при разложении функций в ряд Фурье. Ортогональная система кусочно-постоянных функций становится полной при переходе к функциям Уолша. Функции Уолша определяются произведением функций Радемахера. Принцип формирования этого произведения задает систему функций Уолша. Наибольшее применение нашли системы функций Уолша, известные как системы Пэли, Адамара и Хармута (Уолша).
Система Пэли. Функция Уолша с номером n в системе Пэли задается произведением функций Радемахера с номерами к, равными разрядам двоичного представления n. При двоичном представлении число n записывается в виде
(2.36)
где т - число разрядов.
Функции Уолша в системе Пэли определяются как
(2.37)
где п - порядок функции Уолша.
Двоичное представление n для значений от 0 до 15 приведено в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
Двоичное представление порядка функций Уолша в системах Хармута (Уолша), Пэли и Адамара
№ п/п | Система Хармута (Уолша) | Система Пэли | Система Адамара |
№ п/п | Система Хармута (Уолша) | Система Пэли | Система Адамара |
Система Адамара. Получается из системы Пэли записью разрядов двоичного представления номера функции Уолша п в обратном порядке
(2.38)
Комбинации nт-k+1 соответствующие первым номерам функции Уолша, приведены в табл. 2.1.
Система Хармута. Эту систему можно получить из системы Пэли, представляя номер соответствующей функции Уолша в коде Грея. Код Грея получается последовательным суммированием по модулю два соседних разрядов двоичного разложения п, начиная с младшего.
Обозначив k-ый разряд кода Грея <nk>, запишем
(2.39)
где знак означает операцию поразрядного суммирования по модулю два
Выражение для функции Уолша в системе Хармута имеет вид
(2.40)
Рис. 2.7
Комбинации <nк>, соответствующие нумерации Функций Уолша, приведены в табл. 2.1. Определение функций Уолша первых порядков n < 15 в системе Хармута через функции Радемахера в соответствии с (2.40) дано в табл. 2.2.
Таблица 2.2.
Функции Уолша в системе Хармута (Уолша)
Графики функций Уолша, упорядоченных по Хармуту, изображены на рис. 2.8. Соответствующие нумерации функций Уолша в системах Пэли и Адамара приведены в двух правых столбцах на рис. 2.8. Из графиков функций Уолша, приведенных на рисунке, видно, что порядковый номер функции в системе Хармута равен числу пересечений ее графика с осью абсцисс на интервале [0, 1]. Поэтому нумерация функций Уолша по Хармуту называется также упорядочением по частоте.
В системе Хармута четные относительно середины интервала функции чередуются с нечетными. Эти функции имеют соответственно четные и нечетные номера. В этом функции Уолша в системе Хармута подобны тригонометрическим функциям и их по аналогии иногда обозначают:
четные саl(n,х) = wal(n,x), n = 2k,
нечетные sal(n,x) = wal(n,x), n = 2k+1.
Рассмотренные системы содержат одни и те же функции Уолша, только расположенные в различной последовательности.
2.7.2. Свойства функций Уолша
Из свойств функций Уолша, определенных на интервале [0, 1], отметим следующие.
1. Функции Уолша являются периодическими с периодом, равным единице
(2.41)
2. Модуль функции Уолша равен единице, среднее значение для n≠0 равно нулю
(2.42)
Рис. 2.8
3. Функции Уолша ортонормировании на интервале [0, 1]
(2.43)
4. Произведение двух функций Уолша является также функцией Уолша
(2.44)
Для систем Пэли и Адамара
(2.45)
для системы Хармута
(2.46)
где символ <----------> означает преобразование кода Грея в двоичный код.
5. Параметры n и х симметричны: любые выводы относительно п справедливы для х и наоборот.
Такой вывод следует непосредственно из выражений (2.37), (2.38) и (2.40).
2.7.3. Спектры сигналов в базисе Уолша
Сигнал, описываемый интегрируемой функцией s(t) и определенный на интервале [0, Т], можно разложить в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша
(2.47)
где
Совокупность коэффициентов сп представляет спектр сигнала в базисе Уолша или спектр Уолша. При вычислении спектров Уолша выражение для сп целесообразно представить несколько в иной форме. Разобьем интервал значений t/T на N участков, в пределах которых функция wal(n,t/T) постоянна. С учетом этого выражение для сп запишем в виде
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 20489;