Лекция 11 Методы и компьютерные технологии интерполяции, выбор метода интерполяции, Графоаналитический метод, Способ линеаризации нелинейных функций в среде MATLAB

Интерполяцией называется представление функции функцией , идентичной в некоторой области значений аргумента.

Функция может быть задана аналитически или в виде таблицы. В зависимости от метода интерполирования функция в MATLAB может быть получена в аналитическом виде или в виде чисел из диапазона узлов интерполяции. Функция интерполяции , полученная в аналитическом виде, есть математическая модель изучаемого объекта или явления.

При интерполяции, точной в узлах, значения функции совпадают со значениями исходной функции в узлах интерполяции.

При интерполяции, приближенной в узлах, значения функции не совпадают со значениями исходной функции .

Интерполяция, точной в узлах, используется в тех случаях, когда исходная функция в узлах интерполяции задана аналитически или моделируется физическое явление при высокой точности исходных данных.

Интерполяцию, приближенную в узлах, часто называют аппроксимацией. Она применяется в тех случаях, когда исходные данные функции , полученные экспериментально, могут содержать ошибки. Тогда аппроксимация позволяет получить математическую модель с более высокой точностью, чем интерполяция, точная в узлах. Высокая точность аппроксимации обеспечивается за счет сглаживания неточностей исходных данных. Для повышения точности интерполяции применяют параболы (квадратичная интерполяция) или полиномы более высокой степени (полиноминальная интерполяция).

Пример №1: Для функции найти интерполяционный многочлен , выбрав узлы из таблицы :

Таблица №11.1

Мы не имеем данных для того, чтобы при помощи формулы точно выразить функцию . Будем стремиться найти формулу, дающую приближенное выражение этой функции.

Для решения поставленной задачи постараемся найти, более простую функцию, выраженную аналитически (т.е. формулой), которая при заданных значениях аргумента принимала бы точно те же значения (значения ), которые получены путем измерения и указаны в таблице.

Наиболее простой функцией (как один из вариантов выбора функции), удобной для вычислений, является многочлен (целая рациональная функция). Так как в таблице №1 указаны четыре значения функции, то будем искать многочлен третьей степени, удовлетворяющий вышесказанному требованию:

(11.1)

Коэффициенты являются неизвестными. Подбираем их так, чтобы при многочлен (1) принимал соответственно значения 0; 1/2; ; 1. Для этого подставляем в (1) указанные значения t и приравниваем к соответствующим значениям . Получаем равенства:

, (11.2)

.

Система уравнений (11.2) является системой уравнения с неизвестными

Решая систему уравнений (11.2) в MATLAB, с использованием программы представленной ниже, получим:

Программа решения системы линейных уравнений:

>>A=[1/216 1/36 1/6;1/64 1/16 1/4;1/8 1/4 1/2];

>>b=[1/2;1/4;1/6];

>>x=inv(A)*b

x =

64.0000

-50.6667

9.6667

Итак, многочлен (11.1) окончательно найден:

(11.3)

При он принимает те же значения , которые получены путем измерения и указаны в таблице №1. Допускаем, что при других значениях данного промежутка значения многочлена близки к соответствующим значениям Значит функцию (3) можно считать приближенным аналитическим выражением функции :

(11.4)

Эта функция служит приближенным выражением функции . Функция называется интерполирующей функцией. Чаще всего интерполирующую функцию ищут в виде многочлена, т.е.

(11.5)

Интерполяция при помощи многочлена называется параболической.

Рисунок 11.1 – Результаты программы

Контрольные вопросы

1.Что называется Интерполяцией?

2.Какая функция называется интерполирующей функцией в среде MATLAB?

3.Определение параболической интерполяции

Лекция 12. Обработка сигналов и изображений Signal Processing Toolbox пакетов программ MATLAB Функции работы с аналоговыми линейными системами. Функции анализа дискретных линейных систем Функции дискретной фильтрации

Система MATLAB допускает работу в двух режимах – командной строки и М-файлов. В первом режиме программа записывается непосредственно в командном окне и выполняется последовательно по операторам. Во втором режиме программа записывается целиком в окне редактора/отладчика и копируется в командное окно для выполнения (целиком или по фрагментам).