Лекция 6. Частотные характеристики периодического сигнала. Частотные характеристики апериодического сигнала. Частотные характеристики стохастического сигнала

Математическое описание и обработка периодических гармонических сигналов осуществляются просто. В связи с этим периодический сигнал часто представляют в виде ряда Фурье, т. е. разлагают на гармо­нические составляющие. При этом гармонические составляющие могут быть описаны тремя равноценными способами. Для типовых периодических сигналов, таких как прямоугольные, пилообразные колебания и др., составлены та­блицы соответствующих рядов Фурье.

Ряд Фурье периодического сигнала по определению равен:

, (6.1)

где - круговая частота основной гармонической составляющей:

;

Смысл уравнения ряда Фурье при описании сигнала состоит в том, что вся информация о сигнале заключена в амплитудах или как функция дискретных частот . Для периодических функций характерна дискретность амплитудных спектров и , т. е. они суще­ствуют только при дискретных величинах частоты . Коэффициент ряда Фурье соответствует так называемой постоянной составляющей сигнала. Коэффициент отсутствует в тех случаях, когда сигналы имеют вид последовательности прямоугольных импульсов.

Ряд Фурье как сумма косинусоидальных колебаний с различным сдвигом фаз. На основании тригонометрической теоремы сложения ряд Фурье можно записать в следующей форме:

(6.2)

где

При этом описание сигнала даётся в виде дискретного амплитудного спектра и дискретного фазового спектра .

Ряд Фурье в комплексной форме. Наиболее просто ряд Фурье описывается с помощью комплексного коэффициента :

; (6.3)

где

Используя уравнение Эйлера, можно показать, что

При этом векторная величина эквивалентна величинам и или и :