Як коливання фізичного маятника

Фізичний маятник – це будь-яке тіло, що підвішене у точці, яка не співпадає з центром його маси, та має можливість здійснювати коливання навколо цієї точки.

Розглянемо таке тіло, яке підвішене в точці та відхилене від положення рівноваги на кут (рис. 6.1). В цьому випадку сила тяжіння , яка прикладена до центру маси тіла (точка ), створює момент сили відносно точки підвішування

. (6.1)

Цей момент намагається повернути тіло навколо точки підвішування до положення рівноваги (у протилежну сторону від відхилення). Таким чином, основне рівняння обертального руху може бути записано у вигляді

, (6.2)

де – момент інерції тіла відносно точки підвішування.

Отримали нелінійне диференціальне рівняння, розв’язок якого є окремою математичною задачею. Проте для малих кутів відхилення рівняння (6.2) стає лінійним і зводиться до відомого рівняння гармонічних коливань

, (6.3)

в якому

, (6.4)

- частота коливань, з якою зв’язаний період коливань

. (6.5)

В останній формулі

(6.6)

– так звана зведена довжина фізичного маятника. Остання дорівнює довжині математичного маятника з тим самим періодом коливань.

Таким чином, щоб знайти період (чи частоту) малих коливань фізичного маятника, треба знати масу тіла , відстань між точкою підвішування та центром маси тіла і момент інерції тіла відносно точки закріплення.

Розглянемо коливання судна, як коливання фізичного маятника. Як зазначено в попередньому параграфі судно можна нахиляти як в поперечній, так і в продольній площинах (рис.5.1 та 5.2), тому існує 2 головних метацентра: поперечний (який відіграє основну роль в бортових коливаннях судна) та поздовжній метацентр (який відіграє основну роль в кільових коливаннях судна).

Тоді, наприклад, для бортових коливань судна малої амплітуду маємо наступне рівняння

, (4.1)

де – - моменти інерції судна відносно поздовжньої осі, що проходять через його центр ваги та – висота поперечного метацентра над центром ваги (рис.5.1). Розв’язок цього рівняння має вид:

, (4.2)

де частота коливань

, (4.3)

або період бортових коливань

, (4.4)

Формула, аналогічна до (4.1), буде і для кільових коливань, лише з заміною моменту інерції на – момент інерції судна відносно поперечної осі, що проходять через його центр ваги, та висоти поперечного метацентру на - висоту поздовжнього метацентру над центром ваги (рис.5.2). Тому для кільових коливань судна отримуємо наступне рівняння:

(4.5)

Звідки для періоду кільових коливань судна маємо

. (4.6)

Звернемо увагу, що на практиці визначають період власних бортових коливань судна на тихій воді шляхом запису загасаючих коливань. Знаючи період цих коливань , розраховують метацентричну висоту за допомогою “капітанської” формули:

, (4.7)

де та – розмірні коефіцієнти, - ширина судна, - розподіл ваги відносно вертикальної площини симетрії. Отже величина залежить від розподілу ваги по судну, чим більше вантажів біля центру, тим менше значення , а якщо вантажі біля бортів, то 1.

Зауважимо, що ця емпірична „капітанська” формула є наслідком отриманого виразу для періоду бортових коливань (4.3). З цієї формули отримуємо:

(4.8)

Оскільки момент інерції судна відносно поздовжньої осі, що проходять через його центр ваги, пропорціональний вазі судна та квадрата його поперечного розміру, тобто

, (4.9)

тоді з рівняння (4.6) отримуємо:

(4.10)

що співпадає з „капітанською” формулою (4.5) та дозволяє з’ясувати значення коефіцієнта .

Якщо врахувати силу опору лінійну по кутовій швидкості, то отримаємо наступне диференціальне рівняння бортових коливань:

, (4.11)

розв’язок якого має вид:

, (4.12)

тут , , а визначається формулою (4.3). Отже, сили опору зумовлюють загасання коливань та викликають зменшення частоти коливань.

В реальній ситуації хитавицю судна викликає дія хвиль, які змінюються за гармонічним законом:

, (4.13)

Що викликає діє моменту сили, що змінюється за таким самим законом

. (4.14)

Тоді в наближенні, що ширина судна значно менша, ніж довжина хвилі отримуємо:

(4.15)

Розв’язок цього рівняння для бортових вимушених коливань дає відомий результат

(4.16)

- коли кожному значенню відповідає певне значення амплітуди вимушених лінійних коливань, яка залежить від частоти

, (4.17)

а графік залежності амплітуди вимущених коливань від частоти збуджуючої сили зображений на рис.6.2.

Контрольні запитання

1. Що таке фізичний маятник?

2. Запишіть диференціальне рівняння руху фізичного маятника.

3. За яких умов рівняння руху фізичного маятника зводиться до рівняння гармонічних коливань?

4. Запишіть розв’язок диференціального рівняння (6.3).

5. Що таке зведена довжина фізичного маятника?

6. Які величини потрібно знати, щоб визначити період коливань фізичного маятника?

7. Поясніть виникнення бортовихколивань. Від яких величин залежить частота (період) таких коливань.

8. Отримайте „капітанську” формулу дляперіоду ботрових коливань судна, як коливання фізичного маятника.

9. Від чого залежить загасання коливань.

10. Поясніть резонансну криву ботрових коливань.

11. Чому небезпечно допустити виникнення резонансу?