Динаміка прямолінійного руху судна

При відсутності течії та вітру і прямому положенні руля судно масою здійснює горизонтальний прямолінійний рух, диференціальне рівняння якого, має вигляд

, (3.1)

де – сила тяги двигуна, – сила опору водного середовища, – маса води, яка „прихоплюється” зануреною частиною корпусу судна при його русі. В модельних розрахунках величина приймається рівною 10% маси судна, тому для спрощення формул, введемо – ефективну масу судна.

Оскільки обтікання судна при характерних експлуатаційних значеннях швидкості супроводжується виникненням турбулентного потоку, то сила опору пропорціональна квадрату швидкості

, (3.2)

де - коефіцієнт опору водного середовища, який залежить від завантаження судна, форми зануреної частини корпусу та його стану, а знак „–” вказує, що ця сила напрямлена завжди проти швидкості руху судна (рис. 3.1.).

Тоді рівняння (3.1) в проекції на вісь , яку спрямуємо за напрямом руху судна, приймає вигляд

. (3.3)

Рівняння (3.3) доповнюють початковими умовами: при = 0: = 0, .

Кожному значенню силу тяги > 0 відповідає перехідний процес зміни швидкості ( ), який закінчується досягненням усталеного значення швидкості

. (3.4)

В залежності від значення та напряму тяги маємо три різні ситуації:

– передній хід (тяга спрямована вздовж швидкості) – у цьому випадку в рівнянні (3.3) перед модулем тяги ставимо знак „+”;

– пасивне гальмування (рух за інерцією) – = 0;

– активне гальмування (реверсний режим роботи двигуна – тяга спрямована проти вектора швидкості) – у цьому випадку в рівнянні (3.3) перед модулем тяги ставимо знак „–”.

Нас цікавить, як змінєься швидкість судна та його координата з часом при зміні режиму роботи двигуна. Зауважимо, що пройдений шлях , оскільки початкова умова = 0.

Для визначення швидкості судна запишемо диференціальне рівняння (3.3) у вигляді

(3.5)

В рівнянні (3.5) можна розділити змінні

, (3.6)

та провести інтегрування з невизначеною верхньою межею

. (3.7)

З останнього ми отримуємо

. (3.8)

що дозволяє знаходити час як функцію швидкості , або (після відповідних алгебраїчних перетворень) визначати швидкість судна як функцію часу. Зауважимо, що результат інтегрування (3.8) залежить від конкретного вигляду підінтегральної функції.

Для визначення шляху, який проходить судно, можна скористатися інтегруванням , але простіше скористуватися перетворенням

. (3.9)

Тоді з рівняння (3.5) отримуємо

, (3.10)

що дозволяє визначити шлях , який проходить судно в процесі зміни швидкості від початкової до поточної як

= , (3.11)

і таким чином визначити шлях як складну функцію часу .

В залежності від тяги маємо три різні ситуації, яким відповідають різні результати інтегрування (первісні) правої частини рівнянь (3.8) та (3.11).

Як приклад, розглянемодві ситуації > 0 (прямий хід) та < 0.(активне гальмування). При зміні режиму роботи двигуна будемо нехтувати перехідними процесами, тобто будемо працювати в рамках моделі, коли сила тяги (упору) гвинта при зміні числа обертів змінюється миттєво від початкового значення = const₁ до кінцевого значення = const₂.

1. Передній хід судна. Судно масою = 15000 т рухається вперед під дією сили тяги = 11 кН зі сталою швидкістю . Коефіцієнт опору води = 11000 кг/м. В момент часу = 0 оберти двигуна змінено так, щоб він забезпечував постійне значення тяги = 420 кН у напрямі руху і протягом часу судно збільшує швидкість до величини = 11 вузлів.

1) Знайти час , протягом якого відбулася зміна швидкості.

2) Знайти шлях, який при цьому пройде судно. Величину шляху перевести в морські одиниці (милі)

3). За допомогою ПЕОМ побудувати графіки залежності швидкості від часу та шляху від часу.

Розв’язання.В даному випадку сила тяги має той же напрям, що і швидкість судна (рис. 3.1), диференціальне рівняння руху судна (3.5) приймає вигляд

, (3.12)

а інтеграли (3.8) та (3.11) дають:

. (3.13)

. (3.14)

де – значення усталеної швидкості, яке відповідає початковому значенню сили тяги, а - значення усталеної швидкості для нової сили тяги .

Для того, щоб скористуватися формулами (3.13) та (3.14) переведемо дані задачі в одиниці системи SI:

= 11·(1852/3600) = 5,66 м/с,

Задача має розв’язок, коли поточне значання швидкості судна . Тому знайдемо значення початкової швидкості судна

= 1 м/с,

та усталеної швидкість судна для нового значення тяги = 420 кН

= 6,18 м/с.

Оскільки умови існування розв’язків виконані, то обчислюємо час , протягом якого відбувається зміна швидкості, та шлях , який при цьому проходить судно за формули (3.13) та (3.14) з врахуванням ефективної маси судна

= 1,65·10 ⁷ кг.

Підставляючи дані, отримаємо

340 (с) 6,0 (хв.),

1349 (м) = 0,73 (милі).

Щоб побудувати графіки залежності швидкості та шляху , потріб-но у явному виді з рівняння (3.13) визначити залежність швидкості від часу

, (3.15)

та за допомогою програмного забезпечення знайти значення , а потім визначені значення швидкості для підставити у формулу (3.14) та обчислити значення . Отримані графіки та зображені на
рис. 3.2 та 3.3.

Відповідь: = 6 хв., = 0,73 милі.

2. Активне гальмування судна. При швидкості = 11 вузлів двигун вмикають на роботу у реверсному режимі ( = 125 кН, вектор спрямований проти вектора швидкості судна , рис. 3.4). Протягом часу судно зменшує швидкість до = 2,5 вузлів= 1,29 м/с.

1) Знайти час, протягом якого швидкість судна зменшиться до значення та визначити шлях, який пройдено за цей час.

2) За допомогою ПЕОМ побудувати графіки залежності швидкості від часу та шляху від часу.

Розв’язання. В цьому випадку гальмування судна відбувається як за рахунок сили опору з боку води, так і за рахунок сили тяги двигуна. Тому диференціальне рівняння руху судна приймає вигляд (тяга спрямована проти руху – рис. 3.4)

, (3.16)

а інтеграли (3.8) та (3.11) дають:

, (3.17)

, (3.18)

де - швидкість судна на початку гальмування ( = 11 вузлів = 5,66 м/с).

Підставимо наші дані в формули (3.17) та (3.18) і отримаємо:

298 (с)

= 906 (м) = 0,49 (милі).

Для побудови графіків залежності швидкості та шляху потрібно у явному виді з рівняння (3.17) знайти залежність швидкості від часу

, (3.19)

та за допомогою програмного забезпечення обчислити значення в продовж часу руху судна (0,337 с), а потім визначені значення швидкості для кожного моменту часу підставити у формулу (3.18) і знайти значення .
Отримані графіки та зображені на рис. 3.5 та 3.6.

Відповідь: = 5 хв., = 0,49 милі.