Гіроскоп та гіроскопічні сили

Гіроскоп – це аксіально-симетричне тіло, приведене у швидке обертання навколо своєї осі симетрії. Такі пристрої досить широко використовуються в техніці, а прикладами можуть бути звичайна дзиґа, вал двигуна, гіростабілізатор тощо.

Знайдемо напрям руху осі гіроскопа, якщо до його осі прикласти силу . Гіроскоп не „слухається” нас, бо замість того, щоб рухатись за напрямком сили (на рис. 7.1 вздовж осі ), він повертається в перпендикулярній до площині. Така поведінка осі гіроскопа отримала назву гіроскопічного ефекту. Зауважимо, що якби гіроскоп не обертався, то під дією сили його вісь здійснювала рух (падіння) в напрямі дії сили .

Щоб пояснити поведінку гіроскопа скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу

. (7.1)

Отже, зміна моменту імпульсу гіроскопа (тобто орієнтації його осі) визначається не прикладеною силою, а моментом, який створює ця сила відносно точки закріплення. В нашому випадку прикладена сила створює момент

, (7.2)

який спрямований перпендикулярно рисунку і спрямований від нас (в напрямі, протилежному осі ).

Прецесія гіроскопа

Розглянемо спрощену теорію руху гіроскопа. Нахилимо вісь гіроскопа, який закріплений в точці та обертається з великою кутовою швидкістю , навколо власної осі. Відпустивши його, ми побачимо, що вісь гіроскопа почне повільно повертатися з кутовою швидкістю навколо нерухомої вертикальної осі (рис. 7.2). Такий рух осі гіроскопа називається прецесією,

Причини такої поведінки осі гіроскопу наступні. Згідно з основним рівнянням обертального руху

, (7.3)

вектор зміни моменту імпульсу спрямований у тому ж напрямі, що і вектор моменту зовнішніх сил відносно точки закріплення . Останній момент створює сила тяжіння

, (7.4)

і напрям моменту зовнішніх сил в кожний момент часу перпендикулярний як вектору силі тяжіння , так і вектору . Отож, в кожний момент часу (дивись рис. 7.2). Цей факт приводить до того, що вектор моменту імпульсу гіроскопу під дією сили тяжіння, не змінює свій модуль, а змінює тільки свою орієнтацію в кожний момент часу перпендикулярно осі симетрії гіроскопа. Отже, незакріплений кінець осі гіроскопа починає рух по колу, центр якого знаходиться на осі .

Кутову швидкість прецесії обчислюють за формулою

. (7.5)

Таким чином, кутова швидкість прецесії прямо пропорційна величині діючого моменту сил і обернено пропорційна величині моменту імпульсу гіроскопа та не залежить від кута нахилу осі гіроскопа до вертикалі. Звернемо увагу, що кутова швидкість прецесії обернено пропорційна власній кутовій швидкості обертання гіроскопа.

Гіроскопічні сили

Тепер розглянемо гіроскоп, вісь якого закріплена. Визначимо взаємодію осі з підшипниками, коли змінюється орієнтація осі. Якщо зовнішні сили змінюють орієнтацію вісі гіроскопа, то вона чинить тиск на підшипники, викликаючи з боку останніх відповідну реакцію. Сили , з якими вісь гіроскопа тисне на підшипники, називаються гіроскопічними.

Для визначення напряму гіроскопічних сил користуються правилом Жуковського: якщо намагатися змінити орієнтацію осі гіроскопа, який обертається з кутової швидкістю власного обертання, то на підшипники, в яких закріплена вісь гіроскопа, починає діяти гіроскопічна пара сил з моментом , яка намагається найкоротшим шляхом сумісти вектор кутової швидкості з вектором кутової швидкості вимушеного обертання (рис. 7.3).

Момент гіроскопічних сил дорівнює

= , (7.6)

де - момент інерції гіроскопа, - кутова швидкість обертання, - кутова швидкість повороту осі гіроскопа під дією зовнішніх сил. Отже момент гіроскопічних сил дорівнює векторному добутку моменту імпульсу на вектор кутової швидкості . Виникнення гіроско-пічних сил при вимушеному повороті осей тіл, які обертаються з великими кутовими швидкостями, відіграє важливу роль в техніці.

Розглянемо приклад. Судно, яке зображене на рис.7.3, робить правий поворот – тоді вектор направлений вздовж вертикальної осі вниз. При даній орієнтації векторів та виникає момент гіроскопічних сил , який намагається підняти ніс та занурити корму (тобто викликати поворот вісі турбіни довкола горизонтальний осі, яка перпендикулярна площині малюнка). При цьому виникає пара гіроскопічних сил та , яка намагається повернути вектор кутової швидкості вала до вектора кутової швидкості повороту судна по найкоротшому шляху. Ці сили дії вала на підшипники можуть значно перевищувати вагу вала, викликаючи додаткове зношення, а часом і руйнування підшипників.

Зауважимо, що у випадку лівого повороту судна при такому ж напрямі виникає гіроскопічний момент протилежного напряму. Момент гіроскопічних сил виникає і при кільовій хитавиці. Якщо, наприклад, ніс судна занурюється, то для напряму обертання валу, який вказано на рис.7.3, гіроскопічний момент буде спрямований вертикально вниз, а гіроскопічні сили будуть горизонтальними (до нас для носового підшипника, та від нас – для кормового).

Таким чином, гіроскопічні ефекти треба брати до уваги при управлінні судном. В залежності від напрямку обертання турбіни і напрямку повороту судна, в момент повороту судно набуває деферента на корму або на ніс.