Классическое нормальное распределение

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.

Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

(1)

где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:

где ₀ , - оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 1.

Выясним смысл параметров Т₀ и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, чтоТ₀ является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T₀) выражение (1) не меняется. При t = Т₀ ПРО достигает своего максимума

Рис. 1

При сдвиге Т₀ влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т₀ является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО.

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S.

Изменение графиков P(t) и (t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т₀ = const приведено на рис. 2.

Рис. 2

Используя полученные ранее (лекции 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и (t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц.

С этой целью перейдем от случайной величины T к некоей случайной величине

(2)

распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения

(3)

Выражение (3) описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 3).

Рис. 3

Функция распределения случайной величины X запишется

(4)

а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x) .

В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т₀)/S.

Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:

	f(t) = f(x)/S;	(5)
	Q(t) = F(x);	(6)
	P(t) = 1 - F(x);	(7)
	(t) = f(x)/S(1 - F(x)).	(8)

В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:

(9)

Очевидно, что F(x) связана с (x) следующим образом:

(10)

Как и всякая функция распределения, функция (x) обладает свойствами:

(x)(- ) = -0,5; (x)( ) = 0,5; (x)(-x) = - (x) .

В литературе могут встретиться и другие выражения для (x), поэтому, какой записью (x) пользоваться – это дело вкуса.

Показатели надежности объекта можно определить через (x), используя выражения (5) – (8) и (10):

	Q(t) = 0,5 + (x) ;	(11)
	P(t) = 0,5 - (x) ;	(12)
	(t) = f(x)/S(0,5 - (x)) .	(13)

Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т₀ и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t.

Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта.

Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения.

Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Обозначим:

t_p– значение наработки, соответствующее ВБР P;

x_p – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P.

Тогда из уравнения связи x и t:

при x = x_p ; t = t_p, получаем

t_p= Т₀ + x_p S.

t_p, x_p – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P.

Значения квантилей x_p приводятся в справочной литературе для P 0,5.

При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение

x_p = - x_1-p .

Например, при P = 0,3

x_0,3 = - x_{1- 0,3} = - x_{0, 7}

Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t₂] наработки определяется:

(14)

где x₁ = (t₁ - Т₀)/S , x₂ = (t₂ - Т₀)/S .

Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - и распространяется до t = .

Это не является существенным недостатком, если Т₀ >> S, поскольку по (14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т₀ - 3S < T < Т₀ + 3S} 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т₀ > 3S, находятся на участке Т₀ ± 3S.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ) и используется усеченное нормальное распределение.