Методы представления колебаний

Существуют различные методы описания гармонических колебаний. Приведём некоторые из них.

1. Аналитический метод

Задаётся уравнение колебаний гармонического осциллятора

х=Аsin(ωt+φ₀)

по которому и определяется смещение его от положения равновесия в любой момент времени.

2. Графический метод

3. Метод векторной диаграммы

x = Asin(ω₀t+φ₀), совершая гармоническое колебание.

§ 5.2.2 Скорость и ускорение колеблющейся точки

Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, возьмем производную от смещения колеблющейся точки x = Asin(ω₀t+φ₀) по времени:

(5.4)

где υ_max = Аω₀ — максимальная скорость (амплитуда скорости).

На основании тригонометрических формул преобразуем (4.18):

(5.5)

Сравнивая выражения для смещения и скорости замечаем, что фаза скорости на больше фазы смещения, т.е. скорость опережает по фазе смещение на Продифференцировав (5.4), найдем ускорение:

(5.6)

где а_max = А ω₀² - максимальное ускорение (амплитуда ускорения).

Вместо (5.5) запишем

а = а_max соs [π + (ω₀t+φ₀)] (5.7)

Из сравнения (5.6) и (5.3) следует, что фазы ускорения и смещения различаются на π, т. е. эти величины изменяются в противофазе. Это значит, что при положительном максимальном смещении ускорение максимально, но отрицательно. На рисунке показаны графические зависимости смещения, скорости и ускорения от времени (рис.6.6, а) и их векторные диаграммы (рис.5.6, б) .

§ 5.2.3 Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения

Колеблющееся тело обладает как кинетической, так и потенциальной энергией, которые последовательно переходят друг в друга при колебаниях осциллятора. Полная энергия осциллятора равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

Е = Е_к+Е_п (5.8)

Кинетическая энергия тела, колеблющегося по гармоническому закону, вычисляют по формуле:

(5.9)

с учётом mω² = k

Потенциальную энергию колебательного движения найдём, исходя из формулы для потенциальной энергии упругой деформации:

(5.10)

Складывая кинетическую и потенциальную энергию, получим полную механическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону:

(5.11)

Полученное выражение показывает, что энергия колеблющегося тела от времени не зависит, т.е. с течением времени остаётся величиной постоянной, а зависит только от квадрата амплитуды и частоты.

При отсутствии сил трения полная механическая энергия системы не изменяется:

(5.12)

Графически зависимости кинетической, потенциальной и полной механической энергий колеблющейся системы от времени показаны на рис. 5.7, а.

Потенциальная яма (ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в не её), соответствующая гармоническому колебанию, изображена на рис. 5.7, б. Она определяется зависимостью . Отложив на оси ординат полную механическую энергию Е, по графику определяют интервал координат (-А, +А), за пределы которого частица, обладающая такой энергией, выйти не может.

§6.2 Затухающие колебания

До сих пор мы рассматривали свободные колебания материальной точки без учёта сопротивления среды, в которой происходят эти колебания.

В реальных условиях на колеблющееся тело всегда действуют силы сопротивления (трения), в результате чего амплитуда с течением времени уменьшается и колебания становятся затухающими.

(5.13)

где r – коэффициент сопротивления среды, зависящий от плотности среды и геометрических размеров осциллятора; υ - относительная скорость движения осциллятора и среды.

Уравнение затухающих колебаний записывается в виде:

x = A₀е^-δt sin(ωt+φ₀) (5.14)

Выражение А=±А₀ е^-δt , есть переменная во времени амплитуда колебания; А₀— амплитуда в момент t = 0; ω -частота затухающих колебаний; φ₀-начальная фаза колебаний.

Наглядной характеристикой затухания является отношение двух амплитуд, отличающихся по времени на период Т. Это соотношение называется декрементом затухания

(5.15)

Прологарифмируем это выражение:

(5.16)

Значение θ=δТ называется логарифмическим декрементом затухания.

Время в течении которого амплитуда убывает в е раз, называется временем жизни колеблющейся точки. За время жизни τ система успевает совершить N колебаний.

(5.17)

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний осциллятора за время его жизни.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента сопротивления rи определяется формулой:

(5.18)

§6.3 Вынужденные колебания. Резонанс

Для того, чтобы колебания осциллятора были незатухающими, надо компенсировать потери энергии на преодоления сопротивления среды. Это можно сделать следующим способом. Пусть пружинный маятник с железным грузом находится в поле тяжести электромагнита, по обмотке которого проходит переменный ток:

I = I₀ sin ωt (6.35)

Магнитная сила, действующая на маятник, меняется по тому же закону F_в=F₀sinωt. Эта периодически изменяющаяся внешняя сила, действующая на осциллятор, называется вынуждающей силой.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называют вынужденными колебаниями.

(6.42)

Когда частота вынуждающей силы приближается к частоте собственных колебаний осциллятора, амплитуда колебаний возрастает и при некоторой частоте достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время. Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы — автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник (или баланс) является колебательной системой, пружина (или поднятая гиря) — источником энергии, а анкер — регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему. Некоторые биологические системы (сердце, легкие) являются автоколебательными.