Локальная теорема Лапласа. Асимптотическая

формула Муавра-Лапласа(Пьер Симон Лаплас, 1749-1827)

(Абрахам де Муавр, 1667-1754)

При больших значениях n, k, p (0<р<1) пользоваться формулой Бернулли достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если n=50, k=30, p=0,1, то для отыскания вероятности Р50(30) надо вычислить выражение

Р50(30)= 50!/(30!20!)∙(0,1)30∙(0,9)20,

где 50! = 30 414 093∙1057, 30! = 26 525 286∙1025 , 20!= 24 329 020∙1011 .

Оказывается можно упростить процесс вычисления интересующей нас вероятности.

Если число испытаний n достаточно велико, вероятность появления события А ровно k раз в n испытаниях можно найти по теореме Лапласа и асимптотической формуле Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

(1.39)

где - функция Гаусса.

Значения функции φ(х) приводятся в специальных таблицах (например, Гмурман, приложение 1) для положительных значений х. Для отрицательных значений х можно пользоваться теми же таблицами, так как функция φ(х) нечетна, т.е. φ(-х)= -φ(х).

Пример 1.67. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. по асимптотической формуле Муавра-Лапласа

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице приложения 1 (Гмурман В.Е.) находим

Искомая вероятность Р400(80)=(1/8)∙0,3989=0,04986.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости упущены): Р400(80)=0,0498.

Домашнее задание: ДР-14( №3.27,Зарубин, стр. 116)








Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 950;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.003 сек.