Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n независимых в совокупности событий, причем, вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление, хотя бы одного из этих событий, означает наступление, либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых в совокупности событий А₁, А₂, …, А_n равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

(1.30)

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n. Событие А и события , состоящие в том, что ни одно из этих событий не наступило, противоположны, несовместны, представляют полная группа событий. Следовательно, согласно аксиоме 3 (раздел 1.9, формула (1.16))

Р(А) + Р( ) = 1

отсюда Р(А) = 1 – Р( )

Пользуясь теоремой умножения независимых событий, получим

ч.т.д.

С учетом того, что, если вероятность одного из двух противоположных событий обозначено через р, то вероятность другого события обозначают через q данная формула может быть записана в виде

Р(А) = 1 – q₁∙ q₂∙ … ∙q_n. (1.31)

Примечание. Если события А₁, А₂, …, А_n равновероятны, то есть, имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р(А)= 1 – qⁿ. (1.32)

Пример 1.58. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий равны: р₁=0,8; р₂ = 0,7; р₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из трех орудий.

Решение. Пусть А₁ = {попадание из первого орудия}, А₂ = {попадание из второго орудия}, А₃ = {попадание из третьего орудия}, А = { хотя бы одно попадание в цель}.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂ и А₃ (то есть вероятности промахов), соответственно, равны:

q₁ = 1 – p₁ = 1 – 0,8 = 0,2; q₂ = 1- p₂ = 1 – 0,7 = 0,3; q₃ = 1 – p₃ = 1 – 0,9 = 0,1.

Искомая вероятность Р(А) = 1 - q₁∙ q₂∙q₃ = 1 – 0,2∙0,3∙0,1 = 0,994.

Примечание. Данную вероятность можно вычислить, не пользуясь формулой (1.32), а представив событие А в виде:

Отсюда получим Р(А) = 0,994. Как видно, этот способ более трудоемкий.

Домашнее задание: ДР-9