Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке

В курсах математической теории упругости доказывается, что в любой точке тела можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Нормальные напряжения по этим площадкам называются главными напряжениями. Одно из них представляет собой наибольшее напряжение в данной точке, другое ¾ наименьшее, а третье имеет величину, промежуточную между первыми двумя.

Предположим, что наклонная грань BCD тетраэдра, выделенного у точки А напряженного тела (рис. 7), — главная площадка. Обозначим направляющие косинусы нормали к главной площадке l, m и п. Полное напряжение р_v, действующее по главной площадке, направлено по нормали v и равно главному нормальному напряжению. Касательное напряжение равно нулю.

Составим по формулам (1.4) выражения для проекций напряжения р_v на оси координат:

С другой стороны, те же проекции p_vx = p_vl; p_vy = p_vm; p_vz = p_vn.

Рис. 7

Так как левые части в уравнениях равны, приравниваем правы части и получаем систему

, (1.8)

в которой четыре неизвестных: главное напряжение р_v и три направляющих косинуса. Четвертое недостающее уравнение системы — условие равенства единице суммы квадратов направляющих косинусов:

l² + m² + n² = 1. (1.9)

Из соотношения следует, что направляющие косинусы не могут все одновременно быть равны нулю, поэтому система уравнений с неизвестными l, т и п должна иметь решения, отличные от нуля, а значит ее определитель должен равняться нулю. Раскрыв этот определитель, получим

,

где введены обозначения

.

Решив кубическое уравнение, получим три значения его корня, т. е. три главных напряжения, из которых алгебраически наибольшее назовем , наименьшее , а промежуточное . Величины главных напряжений в точке, не зависят от выбора осей координат, а зависят от формы и размеров тела и его нагружения. Следовательно, коэффициенты а₁ и а₂ и свободный член а₃ в этом уравнении также не должны зависеть от выбора осей координат. Поэтому функции а₁ и а₂составляющих напряжений и свободный член а₃, называются инвариантами системы осей координат.

Так как число главных площадок равно трем, должно быть найдено девять направляющих косинусов. Чтобы найти, например, направляющие косинусы l₁ , т₁, п₁ нормали к площадке, по которой действует главное напряжение , надо подставить значение в какие-нибудь два уравнения (1.8).

Решив эти два уравнения, найдем значения двух направляющих косинусов, например l₁ и m₁ , выраженные через п₁. Подставив найденные значения l₁ и т₁ в уравнение (1.9), найдем третий направляющий косинус п₁ первой главной площадки.

Рассмотрим снова элементарный тетраэдр у точки А (рис. 8). Предположим, что три взаимно перпендикулярные его грани представляют собой главные площадки в точке А.

Рис. 8

Составим выражение для касательного напряжения t, действующего по наклонной грани BCD тетраэдра, имеющей направляющие косинусы l, т и n, и найдем экстремальные значения этого напряжения и положение площадок, по которым они действуют. На основании формулы (1.1,б) квадрат касательного напряжения по площадке BCD

Ввиду того, что грани тетраэдра ACD, ACВ и ABD — главные площадки, подстановка в это уравнение выражений для p_N , вычисленных по формулам (1.1,а), (1.4) и (1.6), дает

Из соотношения (1.9)

n² = 1 – l² – m²,

тогда

Наибольшее значение касательного напряжения t_N найдетсяиз условий

дающих два уравнения с двумя неизвестными l и m.

Предположим, что обозначены соответственно , тогда последние два уравнения примут вид двух уравнений третьей степени относительно l и т

Если отбросить не отвечающие исходным условиям задачи решения системы уравнений, останутся следующие значения двух групп направляющих косинусов:

Первая группа при положительных т и п определяет нормаль, лежащую в плоскости у0z и составляющую с этими осями углы в 45°, или площадку, делящую пополам прямой угол между главными площадками, по которым действуют напряжения и . При отрицательных т и п первая группа определяет нормаль и площадку соответственно перпендикулярные к первым (рис. 9, а).

А б

Рис. 9

Вторая группа определяет две площадки, делящие пополам прямые углы между главными площадками, по которым действуют и (рис. 9, б).

Можно получить новую систему кубических уравнений, из которой можно найти третью группу направляющих косинусов:

определяющих еще две взаимно перпендикулярные площадки (рис. 9, в).

Таким образом, найдены три пары взаимно перпендикулярных площадок. По каждой из этих пар касательные напряжения одинаковы и представляют наибольшее напряжение для определенной группы площадок.

Величина трех наибольших касательных напряжений получается путем подстановки значений l, т и п первой, второй и третьей групп в уравнение для . Каждое из них равно полуразности двух главных напряжений:

(1.10)

<1 2 345 6 7 >

Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 1590;