Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке

Рассмотрим элементарный тетраэдр ABCD, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а нормаль N к четвертой грани составляет с координатными осями углы, косинусы ко­торых равны l, т и п (рис. 6). Будем считать заданными составляющие нормальные и касательные напряжения, действующие по площадкам, лежащим в координатных плоскостях, и определим напряжения на площадке BCD. Выберем новую систему прямо­угольных осей координат х₁ , y₁ иz₁, так чтобы ось х₁ совпадала с нормалью N , а оси у₁ и z₁ лежали в плоскости площадки BCD. Каждая из этих осей будет иметь в системе осей x, y, z свои направляющие косинусы, указанные в табл. 1.

Рис. 6

Таблица 1

Полное напряжение р_N, действующее по площадке BCD, разложим на составляющие р_Nx , p_Ny и p_Nz . Нормальное напря­жение действующее по пло­щадке BCD, можно рассматри­вать как проекцию на ось N (или х₁) полного напряжения p_N , действующего по площадке BCD, а полное напряжение р_N - как равнодействующую трех его проекций. Так как проекция равнодействующей равна сумме проекций составляю­щих, то

.

Подставив выражения (1.4) и произ­ведя необходимые сокращения, запишем

s_N = s_x l² + s_y m² + s_z n² + 2t_xy lm + 2t_yz mn + 2t_zx nl. (1.6)

Спроектировав составляющие р_Nx , p_Ny и p_Nz на ось у₁ (рис. 6), получим

,

а заменив их выражениями (1.4) и приведя по­добные члены, -

(1.7,а)

Аналогично из суммы проекций на ось z₁ найдем выражение для третьего составляющего касательного напряжения

(1.7,б)

С помощью формул (1.6) и (1.7) можно преобразовать состав­ляющие тензора напряжений при переходе от одной системы координат х, у, z к новой системе координат х₁, у₁, z₁.

Для записи (1.6), (1.7) и ряда других формул теории упругости можно установить последовательность чередования индексов у составляющих напряжений и чередова­ния направляющих косинусов, показанную схематически на рис. 6.