Коефіцієнт парної кореляції

Коефіцієнт парної кореляції обчислюється за формулою:

або

Алгоритм розрахунку коефіцієнта парної кореляції:

1) записують вихідні дані в два варіаційні ряди - x і y;

2) обчислюють середнє арифметичне ряду x і y;

3) визначають різницю між членом ряду і середніми величинами;

4) перемножують різниці ряду x і y між собою;

5) знаходять суму перемножуваних різниць (з урахуванням арифметичного знаку);

6) зводять квадрат кожної різниці (відхилення) ряду х і у;

7) визначають суму квадратів відхилень (різниць) для ряду х і окремо;

8) підставляють отримані дані у вихідну формулу і обчислюють коефіцієнт парної кореляції.

Приклад. Визначити кореляційний зв'язок між рядками введення протидифтерійної сироватки та летальністю цього захворювання.

День введення сироватки (х)	Летальність (у)	d x	d y	d x 2	d y 2	d x * d x
1-й	2,0	-2	-5
2-й	3,0	-1	-4
Третя	7,0
4-й	9,0	+1	+2
5-й	14,0	+2	+7
x x = 3	x y = 7.0	Sd x = 0	Sd y = 0	Sd x 2 = 10	Sd y 2 = 94	Sd x * d y = 30

Коефіцієнт кореляції дорівнює +0,98. Зв'язок позитивна, сильна. Отже, між термінами введення сироватки та летальністю від дифтерії є дуже тісна залежність. Число хворих у цьому прикладі дорівнює 900.

Можна визначити достовірність коефіцієнта кореляції, обчисливши його середню помилку для великого числа спостережень (n> 50) за формулою:

, Або при меншій кількості спостережень:

З достатньо великою надійністю можна стверджувати, що залежність невипадкова, якщо чисельне значення r xy перевищує свою середню помилку не менш ніж в 3 рази.

Тобто зв'язок між ознаками вважається статистично значущим, якщо коефіцієнт кореляції перевищує свою помилку в 3 і більше разів.

У тому випадку, коли відношення коефіцієнта кореляції до його середньої помилки менше 3, існування зв'язку між досліджуваними явищами не можна визнати доведеним.

Для малої кількості спостережень (n £ 30) ступінь надійності коефіцієнта кореляції може визначатися за спеціальною таблицею. При цьому число спостережень таблиці К (число ступенів свободи n ) дорівнює кількості спостережень у дослідженні без двох, тобто К = n-2. Як правило, коефіцієнт кореляції розраховується при числі кореляційних пар не менше 5.

У медичних і біологічних дослідженнях зв'язок між ознаками вважається статистично значущим, якщо величина коефіцієнта кореляції більше або дорівнює табличній при Р = 0,05

Показники оцінки коефіцієнта кореляції при малому числі спостережень

Приклад. У районах вивчалася залежність між щепленнями населення і рівнем захворюваності. Отриманий коефіцієнт кореляції за цими двома ознаками дорівнював 0,81. Число спостережень - 8 районів (пар), отже, К дорівнює 6 (8-2). По таблиці знаходимо рядок 6 і порівнюємо отриманий коефіцієнт. При даному числі ступенів свободи (К) коефіцієнт кореляції перевищує табличний для ймовірності Р = 0,05 (графа 3). Звідси з ймовірністю, більшою, ніж 95%, можна стверджувати, що залежність між щепленнями населення і захворюваністю не випадкова, і цей зв'язок сильна, тобто чим більше відсоток щеплених, тим менше рівень захворюваності.

Ранговий коефіцієнт (Спірмена)

Ранговий коефіцієнт кореляції більш придатний в порівнянні зі звичайним коефіцієнтом для характеристики кореляцій у випадках нелінійної зв'язку і для даних, розподіл яких відрізняється від нормального. Крім того, дані для розрахунку рангового коефіцієнта можуть бути представлені в напівкількісних вимірах. Обчислення коефіцієнта проводиться за формулою:

Алгоритм розрахунку коефіцієнта кореляції рангів:

1) замінюють кількісні (або напівкількісні, або якісні) ознаки ряду х і у на ранги, ранжуючи при цьому строго від меншої величини до більшої (або суворо від більшої до меншої на розсуд дослідника);

2) визначають умовні відхилення (а), тобто різницю рангів по кожному рядку;

3) зводять умовні відхилення в квадрат;

4) визначають суму квадратів умовних відхилень;

5) підставляють отримані дані у відому формулу і обчислюють коефіцієнт кореляції.

Приклад. Виміряти кореляцію між смертністю від раку молочної залози і раку матки (матеріали смертності 5 позаєвропейських країн за 1950 - 1952 рр..),

Оскільки обчислення коефіцієнта кореляції рангів зазвичай проводиться на малій кількості числі спостережень (кількість пар в лавах х, у), особливого значення набуває оцінка статистичної значущості (достовірності) цього коефіцієнта. Ранговий коефіцієнт завжди менш точний, ніж парний коефіцієнт кореляції.

Оцінка достовірності коефіцієнта кореляції рангів проводиться різними методами в залежності від числа спостережень. При числі парних спостережень, меншому за число 9 (n £ 9), оцінка значимості проводиться за спеціальною таблицею. При числі спостережень від 10 і більше оцінка значимості може здійснюватися за допомогою критерію t за формулою:

.

Використовуючи таблицю значень t Стьюдента, при числі ступенів свободи без двох (n²= n-2), порівнюють обчислене значення з табличним. Коефіцієнт визнається значущим за умови, якщо розрахункове t> t_0,05 табличного.

Критичне значення коефіцієнтів кореляції Спірмена - r

Коефіцієнт кореляції визнається значущим (достовірним), якщо обчислене r £ r 0,05.

У розглянутому прикладі число спостережень менше 9 (n = 5), внаслідок чого оцінка коефіцієнта проведена за таблицею. При числі спостережень, що дорівнює 5, розраховане значення r =- 0,80 менше критичного і тому не можна з достатньою вірогідністю стверджувати, що між смертністю від раку молочної залози і раку матки існує якась залежність.

Визначення тісноти зв'язку між якісними ознаками

При вивченні залежності якісних ознак використовується коефіцієнт спряженості. Для визначення тісноти зв'язку в разі альтернативної залежності двох ознак , які співставляються (дані, як правило, представлені в таблицях з чотирма полями) коефіцієнти спряженості розраховуються за формулами:

коефіцієнт контингенции Шарльє:

коефіцієнт асоціації Юла (Q):

Алгоритм розрахунку:

1) шифрують через a, b, c, d чотири поля, в яких розташовані вихідні дані: ;

2) обчислюють послідовно твори a * d і b * c;

3) розраховують чисельник формули;

4) визначають знаменник формули;

5) обчислюють коефіцієнт Шарльє або Юла.

Приклад. Визначити залежність між методами лікування (хірургічний і рентгенотерапія, тільки хірургічний) і результатами (одужання чи неодужання).

.

Примітка. Коефіцієнт асоціації дає швидку, але орієнтовну оцінку зв'язку. Досить точну величину коефіцієнт Q визначає для значень r між 1,5 і 0,5.

У тих випадках, коли якісні фактори мають не альтернативне варіювання (чотири поля), а більше число угруповань, коефіцієнт спряженості обчислюється за формулою:

,

де j ² (фі-квадрат) - коефіцієнт контингенції Пірсона.

Алгоритм розрахунку:

1) встановлюють кореляційну таблицю;

2) частоти (числа спостережень) вписують зверху кожної клітини таблиці;

3) частоти зводять у квадрат і результат записують під ними;

4) квадрат частот ділять на суму числа спостережень (частот) кожної графи таблиці (див. приклад розрахунку: 625:46 = 12,7; 225:75 = 3 і т.д.);

5) результат від ділення проставляють внизу кожної клітини таблиці;

6) визначають суму результату від ділення по кожному рядку і записують у нижній частині підсумкової клітини таблиці (12,7 +3,0 +2,0 = 17,7 і т.д.);

7) зазначені суми ділять на відповідні підсумки рядків (сума від числа спостережень за рядком): 17,7:50 = 0,35; 24,5:60 = 0,4 і т.д.;

8) обчислюють значення j ^2, який є сумою отриманих вище результатів від ділення без одиниці (j ² = 1,28-1 = 0,28);

9) отримане значення j ² підставляють у формулу і обчислюють коефіцієнт спряженості С.

Приклад. Обчислити коефіцієнт спряженості при вимірюванні тісноти зв'язку між житловими умовами і захворюваністю обстежуваних.

, Звідси .

Величина С дозволяє судити про наявність середнього кореляційного зв'язку між розглянутими факторами.