Закон распределения дискретной случайной величины. Основные примеры

Если при проведении некоторого испытания обязательно появляется заранее неопределенное число, то такое случайное явление называютслучайной величиной.Более точное определение следующее.

Определение.Случайной величиной Х называется полная группа событий, каждое из которых состоит в появлении некоторого числа. Если множество всех возможных значений случайной величины дискретно, т.е. состоит из отдельных изолированных значений, то такая величина называется дискретной случайной величиной (ДCB).

Например, Х – количество отказов некоторого оборудования на 1000 часов его работы.

Законом распределения ДСВ называется соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями, т.е. таблица, в одной строке которой стоят все возможные значения этой величины, а в другой – вероятности их появления.

Так если ДСВ Х имеет возможные значения x₁,x₂, … которые могут приниматься с соответствующими вероятностями p₁, p₂, …, то ее закон распределения имеет вид

Такая таблица может быть как конечной, так и бесконечной.

Основное свойство закона распределения состоит в том, что сумма всех вероятностей в законе распределения ДСВ всегда равна единице: .

Рассмотрим теперь некоторые примеры ДСВ.

Биномиальной случайной величиной с параметрами n и p (n - натуральное, 0<p<1) называется случайная величина, принимающая целые значения 0; 1; 2; …, n с вероятностями определяемыми формулой Бернулли. Величина Х здесь равна числу появлений событий A_i в n испытаниях схемы Бернулли. Закон распределения этой биномиальной величины имеет следующий вид.

X			…	k	…	n-1	n
P		npqn-1	…		…	npn-1q	pn

Например, X - число бракованных изделий в некоторой партии из n изделий при вероятности брака - p для каждого изделия.

Пуассоновской случайной величиной с параметром называется ДСВ, принимающая значения 0, 1, 2, … с вероятностями, определяемыми формулой Пуассона. Её закон распределения имеет вид следующей бесконечной таблицы.

X			…		…
P			…		…

Вероятности этого закона получаются из вероятностей биномиальной величины в результате предельного перехода при постоянная.

Геометрической случайной величиной с параметром (0<p<1) называется случайная величина принимающая значения k=1, 2, … с вероятностями , где q=1-p. Эта величина имеет закон распределения следующего вида.

X				…		…
P	р	pq	pq2	…	pqk-1	…

Для схемы Бернулли с достаточно большим n и фиксированным p, эта величина X есть число испытаний, которые необходимо провести до первого появления события A_k.

5.2. Математическое ожидание случайной величины и его свойства

Следующее понятие позволяет охарактеризовать средневзвешенное значение ДСВ с помощью одного числа.

Определение. Математическим ожиданием ДСВ Х с законом распределения вероятностей

называется число, равное сумме произведений всех возможных значений X на вероятности их появления:

.

Например, если Х – дебит некоторой скважины за одни сутки, то М(Х) характеризует средний дебит этой скважины за произвольные сутки.

В случае бесконечного закона распределения здесь и в дальнейшем будем предполагать, что соответствующие ряды сходятся.

Перечислим теперь основные свойства математического ожидания.

Свойство 1.Если все возможные значения x_i ДСВ Х удовлетворяют неравенству то её математическое ожидание также удовлетворяет неравенству:

Случайная величина, принимающая одно значение с вероятностью 1, называется постоянной величиной. Эта величина обозначается таким же образом, как это значение. Её закон распределения вероятностей имеет вид

Свойство 2.Математические ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной, т.е. М(С)=С.

ПроизведениемДСВ Х на число С называется случайная величина, принимающая все значения случайной величины Х умноженные на С с теми же вероятностями, что и величина Х.

Свойство 3.Для случайной величины Х и числа С М(СХ)=СМ(Х).

Произведением (суммой)случайных величин Х и Y с законами распределения вероятностей

Х	х1	х2	…	и	Y	y1	y2	…
Р	р1	р2	…	Р			…

называется случайная величина, принимающая все возможные значения (или с вероятностями, равными вероятностям совместного появления соответствующих значений x_i и величин X и Y.

Случайные величины Х₁, X₂, …, X_n называется независимыми, если закон распределения каждой из этих величин не зависит от того, какие значения приняли остальные величины.

Свойство 4.Если Х и Y независимые величины, то мат. ожидание их произведения равно произведению их мат. ожиданий: M(XY) = M(X)M(Y).

Свойство 5.Для случайных величин Х и Y верно равенство M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Свойства 4,5 несложно распространить на любое число сомножителей и слагаемых. Биномиальную величину Х можно представить в виде суммы n независимых величин X_i, принимающих значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью q, (X_i – число появлений событий в одном i-ом испытании). Поскольку M(X_i)=p, то верно следующее утверждение.

Следствие. Математические ожидание биномиальной величины Х с параметрами n и p равно M(X)=np.

5.3. Дисперсия и ее свойства

Дисперсия характеризует средневзвешенные отклонения в квадрате значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины относительно ее математического ожидания.

Обозначение: D(X)=M((X-M(X))²).

Теорема.Дисперсия случайной величины Х равна D(X)=M(X²)–M(X)².

Заметим, что по сравнению с исходной величиной , дисперсия измеряется в квадратных единицах, поэтому наряду с ней рассматривается также среднее квадратичное отклонение (СКО) случайной величины, которые определяется как квадратный корень из ее дисперсии: .

СКО измеряется в тех же единицах, что и исходная величина и характеризует средневзвешенное отклонение величины относительно ее математического ожидания. Перечислим основные свойства дисперсии и СКО.

Свойство 1.Дисперсия и СКО случайной величины Х неотрицательны:

Свойство 2.Дисперсия (и СКО) ДСB Х равны нулю только в том случае, когда Х–постоянная.

Свойство 3.Если X –ДCB, а С число, то

D(CX )= C²D(X),

Свойство 4.Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий:

D(X+Y)=D(X)+D(Y),

Свойство 5. Если Х–ДСВ а С– число, то D(C+X)=D(X)

Свойство 6. Для независимых величин X и Y: D(X–Y)=D(X)+D(Y).

Следствие 7. Дисперсия биномиальной случайной величины Х с параметрами n и p равна .

Выводы. По данной теме нами были рассмотренызакон распределения дискретной случайной величины, основные примеры, математическое ожидание ДСВ и его свойства, дисперсия ДСВ и ее свойства.