Теорема о существовании точных граней ограниченного множества

w Пусть ограничено сверху, .

Обозначим В — множество чисел, ограничивающих сверху множество Х, (рис. 27).

Рис. 27

Если и , то из определения числа, ограничивающего множество сверху, следует, что и это верно для .

По свойству непрерывности множества заключаем, что существует число b, такое что выполняется неравенство для и для .

Но так как ограничивает Х сверху; так как для , то b является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих множество Х сверху.

Поэтому по определению точной верхней грани множества получается, что , ч. т. д.

Вторая часть теоремы доказывается аналогичным образом. v

Замечание (к понятию точных граней множества)

1. Для неограниченных сверху множеств часто записывают « », а для неограниченных снизу ­­– « ».

2. Если , то обозначается , то есть если точная верхняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называется максимумом множества.

Аналогично, если , то обозначается , то есть если точная нижняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называется минимумом множества.

Пример 3 (определение максимума и минимума множества)

1) ;

2)

min A не существует;

3) max B и min B не существуют.