Определение отображения множеств
Наряду с понятиями множества и элемента множества в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие присутствует неявным образом при описании понятия множества: каждому из элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является ли этот элемент элементом данного множества или нет. Среди всевозможных соответствий важнейшими в математике являются функции, или отображения множеств.
Определение отображения множеств или функции |
Пусть заданы непустые множества Xи Y. Соответствие, при котором каждому элементу соответствует единственный элемент , называется отображением множества X в множество Y или функцией, определенной на множестве X и принимающей значения в множестве Y. |
Иллюстрация к понятию отображения множества Xв множество Y, то есть к понятию функции приведена на рис. 28.
Рис. 28 | каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент . |
Пример 1 (соответствия, не являющиеся функциями)
1) | не каждому элементу поставлен в соответствие элемент ; | |
2) | хотя бы одному элементу поставлены в соответствие два элемента . |
Обозначения для отображения множеств, или функции
Отображение множеств, или функция обозначается одним из следующих способов:
§ , ; | § ; | § , , ; | ||
§ ; | § . |
При этом элемент называется независимой переменной, или аргументом функции; соответствующий ему элемент называется зависимой переменной; говорят, что между элементами x и y существует функциональная зависимостьf.
Множество X называется множеством задания функцииf (или множеством определения f). Множество тех элементов , каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному элементу , называется множеством значений функцииf и обозначается :
.
Очевидно, что , то есть множество значений функции является подмножеством множества Y, в частности, может совпадать с Y.
Пример 2 (отображение множеств)
1) X — множество треугольников на плоскости,
Y — множество положительных действительных чисел;
площадь треугольника S — это есть функция, определенная на множестве X и принимающая значения в множестве Y, или отображение множества X в множество Y, то есть ;
если Р – это периметр треугольника, то ;
если M – это длина наибольшей медианы треугольника, то ;
2) функция :
; ; |
3) функция :
; ; ; ; |
4) последовательность с общим членом есть функция, отображающая множество натуральных чисел в множество действительных чисел ;
например, : ;
5) функция Дирихле: .
Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1485;