Примеры решения задач на ограниченность множеств

Дано множество точек на координатной прямой. Требуется охарактеризовать его ограниченность, указать точные грани и экстремумы множества.

а) ; б) .

Решение

а) Записываем элементы множества и изображаем их точками на координатной оси:

Описываем ограниченность множества , пользуясь определениями данного параграфа:

– ограничено сверху, т.к. существуют числа такие, что для выполняется неравенство ;

– не ограничено снизу, т.к. для найдется такой, что ;

– неограниченное множество, т.к. не ограничено снизу;

– точная верхняя грань , т.к. число 3 является наименьшим из всех чисел , ограничивающих множество сверху;

– точная нижняя грань – не существует, или , т.к. множество не ограничено снизу;

– максимум множества , т.к. 3 – это точная верхняя грань множества и она принадлежит ;

– минимум множества – не существует, т.к. нет точной нижней грани, следовательно, она не может принадлежать .

б) Решаем неравенство, определяющее множество , и изображаем множество точками на координатной оси:

;

знаки дроби определяем методом интервалов:

Теперь описываем ограниченность множества :

– ограниченное сверху, т.к. существуют числа такие, что для ;

– ограниченное снизу, т.к. существуют числа такие, что для ;

– ограниченное, т.к. ограничено сверху и ограничено снизу;

– , т.к. число 0 является наименьшим из всех чисел , ограничивающих множество сверху;

– , т.к. число –2 является наибольшим из всех чисел , ограничивающих множество снизу;

– не существует, т.к. число не принадлежит ;

– , т.к. число принадлежит .