Теоретические положения. Критериинадежности резервированных невосстанавливаемых систем те же, что инерезервированных невосстанавливаемых систем.

Критериинадежности резервированных невосстанавливаемых систем те же, что инерезервированных невосстанавливаемых систем.

Основными видами резервирования являются: общее постоянное, общее замещением,раздельноепостоянное, раздельное замещением. Структурные схемы резервированных систем приведены на рис. 1.

Приведемосновные соотношения для показателей надежности резервированных систем.

1. Общее резервированиес постоянно включенным резервом

Пусть P_i (t) – вероятность безотказной работы i-го элемента за время t, Q_i(t) – вероятность отказа i-го элемента за время t, f_i (t) – плотность распределения времени до, отказа i-го элемента в момент времени t. Тогда вероятность безотказной работы, плотностьраспределения времени безотказной работы и интенсивность отказов системы с кратностьюрезервирования m определяются соотношениями:

(1)

(2)

(3)

В частности, для экспоненциальных распределений времени до отказа элементов с одинаковыми параметрами λ имеют место равенства:

P(t) = 1–(1 – e^λt)^m+1 (4)

ƒ(t) = (m + 1) λe^-λt(1 – e^λt)^m (5)

λ_c(t) = (6)

Среднее времябезотказной работы системы определяется выражением:

Т₁ = (7)

Рис. 1. Структурные схемы резервированных систем: а – общее резервирование с постоянно включенным резервом; б – раздельное резервирование с постоянно включенным резервом; в – общее резервирование замещением; г – раздельное резервирование замещением

Формулы справедливы для случая, когда нерезервированная система рассматривается как один элемент, показатели надежности которого известны. В действительности любая система состоит из большого числа элементов, каждый из которых имеет показатель надежности, самостоятельно учитываемый при расчете. В таком случае формула для вероятности безотказной работы имеет вид:

P_с(t) = 1– (8)

где n – число элементов нерезервированной системы;

Р_ij(t) – вероятность безотказной работы элемента с номером (i,j).

2. Общее резервирование замещением

Вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа и среднее время безотказной работы системы определяются выражениями:

P_с (t)= P₀ (t)+ ƒ₀ · ƒ₁ · … · ƒ_i=1· P_i(t) (9)

ƒ_с(t)= ƒ_о ^· ƒ₁ · … ·ƒ_m (t)(10)

Т₁ = (11)

Если все элементы равнонадежны, то

P_с (t)= ƒ^*(i) · P(t) = 1 - f^*(m+1)( )dx (12)

Формулы содержат свертки функций, обозначенные символом (*). Свертка функций f(t) и g(t), заданных при t 0. определяемся соотношением:

f * g(t) = f(t - x)g(x)dx = (x)g(t – x)dx

Выражение ƒ^*(i) (t) = f * f * …* f(t) представляет собой i-кратную свертку функций f(t).

Если интенсивность отказов элементов постоянна и равна λ, то формулы для вероятности и среднего времени безотказной работы системы имеют вид:

P_с(t) = (13)

T_c =

3. Раздельное резервирование

Пусть исходная система состоит из n элементов. Тогда вероятность безотказной работы системы при раздельном резервировании выражается следующими формулами:

– раздельное резервирование с постоянно включенным резервом:

P_с(t) = (14)

– раздельное резервирование замещением:

P_с(t) = (15)

В формулах приняты следующие обозначения: – вероятность безотказной работы элемента с номером (i, j), f_ij(t) плотность распределения времени до отказа элемента, i=0,1,2, ..., m; j=1,2, ...., n.

4. Резервирование с дробной кратностью

Приведем формулы для показателей надежности мажоритарных систем (систем с дробной кратностью резервирования), в которых n – общее число элементов, (n-m) основных и m резервных элементов. Отказ такой системы наступает при отказе (m+1)-го элемента.

Показатели надежности мажоритарной системы при условии, что все элементы имеют одинаковую надежность, вычисляются по формулам:

P_c(t) = (16)

ƒ_c(t) = (n – т)С (17)

λ_c(t)= (18)

5. Скользящее резервирование

Скользящее резервирование представляет собой резервирование замещением с кратностью m/(n-m), где n – общее число элементов, m - число резервных элементов, (n-m) – число оcновных резервируемых элементов.

Вероятность безотказной работы системы со скользящим резервом при условии, что все элементы системы имеют одинаковую надежность, равна

P_c(t) = (19)

Если элементы системы имеют экспоненциальное распределение вероятностей временидо отказа с параметром λ, то вероятность безотказной работы, интенсивностьотказов и среднее время безотказной работы системы соответственно равны:

P_c(t) = (20)

(21)

T_1c= (22)