Задание 26.

Если 0 – число элементов пустого множества, то каков смысл суммы а + 0 ?

Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с множе­ствами. Например, чтобы установить отношение 3 < 4, достаточно показать, используя прием приложения (рис.66), что под одним треугольником нет квадрата, т.е. в данной ситуации в множестве квадратов выделено подмножество, равномощное множеству треугольников.

Рис. 66

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элемен­тов в множестве В. Если множе­ство А равномощно подмножеству множества В, то а < b (b > а). Если множества А и В равномощны, то а = b.

Можно определить отношение «меньше» для чисел, не обра­щаясь к множествам. Например, было 5 яблок, добавили 1, стало 6 яблок. Яблок стало больше на 1, значит 6 больше 5, а 5 меньше 6.

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда сущест­вует такое натуральное число с , что а + с = b.

Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнени­ем подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве A, b – число элемен­тов в множестве В и В – подмножество множества А. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.

Действие, при помощи которого находят разность а - b, на­зывается вычитанием, число а - уменьшаемым, число b - вы­читаемым.

Например, смысл разности 5-3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадра­тов, яблок и др.).Выделим из множества А подмножество В, в ко­тором 3 элемента. Тогда 5-3 будет представлять число элементов в дополнении множества В до множества А. Путем пересчета мож­но установить, что 5-3 = 2.

Разность натуральных чисел а и b существует и единственна только при условии, что b < a.