Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от количества в них элементов, т.е. в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по сво­ей природе, но содержат поровну элементов.

С теоретико-множественной позиции количественное нату­ральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Каждому классу соответствует только одно натуральное чис­ло, каждому натуральному числу – только один класс равномощных множеств.

Рассмотрим, например множества:

- множество букв в слове «число»;

- множество сторон в пятиугольнике.

В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества харак­теризуются числом пять. Это число характеризует свойство и дру­гих множеств этого класса.

Каждому конечному множеству соответствует только одно на­туральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.

Пример:

1) «Сколько пальцев на руке?»

2) «Возьми пять любых предметов».

В первом случае ответ однозначный (пять), во втором воз­можны различные варианты выполнения задания.

Число «нуль» не является натуральным.

С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривает­ся как число элементов пустого множества.

Знакомя дошкольников с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множест­ва и соотносят им изучаемое число:

- На рисунке изображены три фигуры.

- На столе лежат три яблока.

- Маша, Коля, Вася - это три имени.

- Число «три» записывают цифрой 3, что обозначает «три предмета».

Так как натуральное число оказывается связанным с конеч­ным множеством, то и действия над натуральными числами мож­но рассматривать в связи с действиями над множествами. Так, сло­жение чисел связывают с объединением непересекающихся мно­жеств, а вычитание - с дополнением подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элемен­тов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда сум­мой натуральных чисел аиbназывают число элементов в объединении множеств А и В.

Сумма натуральных чисел всегда существует, единственно и но зависит от выбора представляющих их множеств.

Рассмотрим пример. Пусть 2 – число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух яблок, множеством из двух геометрических фигур и т. д.), 3 – число элементов в множестве В (В – может быть множеством из трех треугольников, множеством из трех груш и т.д.). Множества А и В не должны иметь общих элементов. Тогда 2 + 3 представляет собой число элементов в объ­единении множеств А и В. Если пересчитать их, то получим, что 2 + 3 = 5.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сло­жением, а числа, которые складывают, слагаемыми.

Исходя из данного определения суммы, можно обосновать из­вестные законы сложения чисел:

1) переместительный, т.е. а + b = b + а для любых натуральных, чисел аиb.

2) сочетательный, т.е. (а + b) + с = а + (b + с) для любых натуральных чисел а , b и с.

Переместительный и сочетательный законы сложения распро­страняются на сложение любого числа слагаемых. Переместитель­ный закон разрешает любую перестановку слагаемых, а сочетатель­ный – любую их группировку.

Дошкольники используют эти законы при поиске удобного способа нахождения суммы. Так, считается более простым прибав­лять меньшее слагаемое к большему, удобнее складывать слагае­мые, дополняющие друг друга до 10 и т.п.