Определение реакций в кинематических парах

3.1.4.1 Условие статической определимости кинематической цепи

При силовом расчете механизма закон движения ведущего звена является заданным. Также предполагаются известными массы и моменты инерции звеньев. Прежде всего, силовой расчет начинается с определения реакций.

Рассмотрим направление реакций в различных кинематических парах.

1. Реакция в поступательной кинематической паре V класса направлена перпендикулярно движению. Она известна по направлению, но неизвестны ее величина и точка приложения (рисунок 3.4, б).

2. Реакция во вращательной кинематической паре V класса проходит через центр шарнира, т.е. известна точка ее приложения. Величина и направление этой реакции неизвестны. Результирующая реакция R₁₂ раскладывается на две составляющие: нормальная составляющая Rⁿ₁₂ направлена вдоль звена, а тангенциальная R^t₁₂ – перпендикулярно звену (рисунок 3.4, а).

3. Реакция в высшей кинематической паре IV класса приложена к точке касания С звеньев 1 и 2 и направлена по общей нормали n-n (рисунок 3.4, в). Следовательно, известны направление и точка приложения этой реакции, а неизвестна ее величина.

а) б) в)

а - во вращательной паре V класса; б - в поступательной

паре V класса; в - в высшей паре IV класса

Рисунок 3.4 - Реакции в кинематических парах

Таким образом, для определения реакции в низшей кинематической паре необходимо определить 2 неизвестные величины (2р₅) , а в высшей кинематической паре - только одну (1р₄).

Обозначим число подвижных звеньев плоской кинематической цепи через n, число пар V класса – через р₅ и число пар IV класса – через р₄.

Составим теперь условие статической определимости плоской кинематической цепи. Для каждого звена, имеющего плоскопараллельное движение, можно записать три уравнения равновесия. Если число звеньев равно n, то число уравнений – 3n. Число неизвестных реакций для пар V класса равно 2р₅, а для IV класса – 1р₄. Следовательно, кинематическая цепь будет статически определима, если удовлетворяется условие:

3n = 2p₅+ 1p₄. (3.13)

Любой механизм с парами IV классов может быть заменен механизмом с парами только V класса. Поэтому условие (3.13) примет вид:

3n = 2p₅

или p₅= (3/2) n. (3.14)

Формула (3.14) является условием статической определимости кинематической цепи. Этому условию удовлетворяют уже известные ряды чисел звеньев и кинематических пар (см. таблицу 1.2):

	II	III	IV
n
р₅

Таким образом, статически определимыми являются структурные группы Ассура. Исходя из этого, силовой расчет начинается с последней структурной группы и заканчивается расчетом ведущего звена.

3.1.4.2 Порядок проведения силового расчета

1. Выполнить структурный анализ механизма.

2. Определить скорости и ускорения всех точек звеньев механизма методом планов. Определить ускорения центров масс.

3. Определить силы тяжести. По индикаторной диаграмме (механической характеристике) определить движущую силу для соответствующего положения.

4. Определить силы инерции и моменты от сил инерции.

5. Начиная с последней от ведущего звена структурной группы, определить реакции в кинематических парах.

6. Определить уравновешивающую силу Р_ур из силового расчета ведущего звена.

7. Определить уравновешивающую силу методом «жесткого» рычага Н.Е.Жуковского.

8. Определить мощность двигателя N_дв.

9. Рассчитать процент ошибки между двумя методами. Расхождение не должно составлять более 5%: Δ=(Р_ур- ) / Р_ур≤ 5%.

3.1.4.3 Определение реакций методом планов

Как указывалось в начале 3-ей главы, для определения реакций пользуются уравнениями равновесия твердых тел, известных из курсов «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов». Рассмотрим определение реакций каждой структурной группы отдельно.

Задача 1. Кинетостатический расчет структурной

группы II класса, 1 вида

Исходные данные для расчета: ℓ_АВ, ℓ_ВС - длины звеньев в м; G₂, G₃ – силы тяжести в Н; Р_и2, Р_и3 – силы инерции в Н; М_Ри2, М_Ри3 – моменты от сил инерции в Нм.

Определить: R^t₁₂, R^t₄₃, R₁₂, R₄₃ – реакции во внешних шарнирах А и С; R₂₃- реакцию во внутреннем шарнире В.

Известно, что во вращательной кинематической паре реакция раскладывается на две составляющие: нормальную составляющую Rⁿ, которая направлена вдоль звена, и тангенциальную R^t, которая направлена перпендикулярно звену (п. 3.1.4, глава 3).

Р_и2

h₃ Р_и3

В h₄ Р_и3 Р_и2

М_Ри₂ K₃ G₃

R^t₁₂ S₂T₂ S₃ ₃ М_Ри₃ R₁₂ R^t₁₂

₂ h₁ h₂С G₂ Rⁿ₁₂

A R₄₃

G₂ G₃ R^t₄₃ Rⁿ₄₃R₄₃ R^t₄₃

Rⁿ₁₂ Rⁿ₄₃

R₁₂

Рисунок 3.5 - Структурная группа II класса 1 вида и ее план сил

В первую очередь определяются R^t₁₂ и R^t₄₃, т.к. известны их направления и точки приложения (п. 3.1.4.1). Рассмотрим 2-ое звено. Составим сумму моментов только 2-го звена относительно внутреннего шарнира (т. В):

= 0, R^t₁₂ АВ + Р_И2 h₃- G₂ h₁= 0, (3.15)

где плечи АВ, h₁, h₃ – замеряются с чертежа в мм.

Рассмотрим 3-е звено. Составим сумму моментов только 3-го звена относительно внутреннего шарнира (т.В):

= 0, R^t₄₃ СВ + Р_И3 h₄- G₃ h₂ = 0, (3.16)

где плечи СВ, h₂, h₄ – замеряются с чертежа в мм. Тангенциальные реакции выражаются из уравнений (3.15) и (3.16). Если реакции получились отрицательные, то нужно поменять направление этих реакций.

Для определения нормальных составляющих и результирующих реакций, необходимо составить сумму сил всей структурной группы:

, . (3.17)

Это уравнение является векторным, т.е. складываются силы по правилу сложения векторов: к концу одного вектора прикладывается начало следующего. При составлении векторного уравнения необходимо учитывать, что неизвестные составляющиеставятся в начале и в концеуравнения. Прежде чем начать построение плана сил, необходимо рассчитать масштабный коэффициент сил.

Масштабным коэффициентом сил называется отношение действительного значения силы к его отрезку на чертеже:

μ_Р= Р_и2/ [Р_и2] = (Н/мм). (3.18)

Масштабный коэффициент сил можно рассчитать по любой известной силе или реакции. В данном случае μ_Р рассчитан по силе инерции. Затем производится построение плана сил. На свободном поле чертежа выбирается точка полюса Р_Р. Из нее строится вектор R^t₁₂. К его концу прикладывается начало вектора G₂, затем Р_и2, Р_и3, G₃ и в конце R^t₄₃ (см. уравнение 3.17 и рисунок 3.5). После построения известных сил из построения определяются неизвестные величины. Для этого из начала построения, т.е. из полюса Р_Р, проводится линия действия реакции Rⁿ₁₂ || АВ и из конца построения линия действия реакции Rⁿ₄₃ || ВС. В точке пересечения этих линий находятся начало реакции Rⁿ₁₂ и конец Rⁿ₄₃. Результирующие реакции R₁₂ и R₄₃ определяются как векторные суммы нормальных и тангенциальных составляющих:

. (3.19)

Для определения реакции во внутреннем шарнире, нужно составить векторное уравнение сил одного из звеньев, например 2-го:

и на том же плане сил необходимо соединить начало реакции Rⁿ₁₂ с концом Р_и2. Направление этой реакции направить так, чтобы силовой многоугольник замыкался (см. рисунок 3.5).

После построения плана сил определяются действительные значения всех построенных реакций:

R₁₂=[R₁₂] μ_Р

R₄₃= [R₄₃] μ_Р = (Н). (3.20)

R₂₃= [R₂₃] μ_Р.

Задача 2. Кинетостатический расчет структурной группы

II класса 2 вида

Исходные данные для расчета: ℓ_АВ - длина звена в м; G₂,G₃ – силы тяжести в Н; Р_и2, Р_и3 – силы инерции в Н; М_Ри2 – момент от силы инерции в Нм. М_Ри3=0, т.к. поршень В движется поступательно.

Определить: R^t₁₂, R₁₂, R₄₃ – реакции во внешних шарнирах А и В; h_X -расстояние до точки приложения реакции R₄₃.

Решение. В точке А звенья 1,2 соединены во вращательную кинематическую пару, в точке В звенья 3,4 соединены в поступательную кинематическую пару. Поэтому, в точке А реакция раскладывается на нормальную и тангенциальную составляющие реакции R₁₂, а реакция в поступательной кинематической паре R₄₃ будет направлена перпендикулярно движению ползуна В (рисунок 3.6) и точка приложения ее неизвестна (см. п. 1.4.1).

Вначале определим величину R^t₁₂, т.к. точка приложения и направление этой реакции известны. Для этого составим сумму моментов только 2-го звена относительно точки В

= 0, R^t₁₂ АВ – Р_и2 h₂+ G₂ h₁= 0. (3.21)

Для определения Rⁿ₁₂ и R₄₃ составим сумму сил всей структурной группы

, . (3.22)

Рисунок 3.6 - Структурная группа II класса 2 вида и ее план сил

Перед построением векторного уравнения (3.22) необходимо посчитать масштабный коэффициент плана сил μ_Р по формуле (3.18).Чертежные значения векторов сил получим, разделив действительные значения на μ_Р. Если вектора сил получатся меньше 1 мм, то их не откладывают. Построение начинаем с известной реакции R^t₁₂ и заканчиваем Р_и3. Все вектора сил откладываем последовательно согласно уравнению (3.22), перенося их параллельно со структурной группы. Затем из начала построения, т.е. из начала вектора R^t₁₂, проводим линию действия реакции Rⁿ₁₂ || АВ. После этого из конца построения, т.е. из конца силы Р_и3, проводим линию действия R₄₃ вертикально до пересечения с первой линией. Тока пересечения определит начало R^t₁₂ и конец R₄₃. Соединив начало Rⁿ₁₂ концом с R^t₁₂, получим результирующую реакцию R₁₂. Определим действительные значения реакций. Для этого замерим вектора на плане сил в мм и умножим их на μ_Р:

R₁₂= [R₁₂] μ_Р = (Н);

R₄₃= [R₄₃] μ_Р = (Н). (3.23)

Определим точку приложения R₄₃, т.е. найдем расстояние h_x. Для этого составим сумму моментов относительно точки А всей структурной группы:

= 0, R₄₃ h_x + Р_И2 h₄- G₂ h₃- G₃(h₁+ h₃) + Р_И3h₅ = 0. (3.24)

Отложив расстояние h_x параллельно движению ползуна от точки А, получим точку приложения реакции R₄₃ (рисунок 3.6).

Более кратко остановимся на силовом расчете остальных структурных групп.

Задача 3. Кинетостатический расчет структурной группы

II класса 3 вида

Исходные данные для расчета: G₃ – сила тяжести в Н; Р_И3 – сила инерции в Н; М_Ри3 – момент от силы инерции в Нм.

Определить: R₁₂, R₄₃ – реакции во внешних шарнирах А и В.

Решение. Масса кулисного камня (звена 2) не задается, т.к. система будет статически неопределимой. Поэтому реакция во внешней кинематической паре R₁₂ будет равна реакции во внутренней кинематической паре R₂₃ (R₁₂=R₂₃). Реакция R₁₂ направлена перпендикулярно движению кулисного камня, а R₂₃ приложена к центру шарнира (к точке А). Реакция же R₄₃ неизвестна ни по величине, ни по направлению.

Рисунок 3.7 - Структурная группа II класса 3 вида и ее план сил

Следовательно, вначале определим R₁₂:

= 0, R₁₂ АВ – Р_и3 h₂- G₃ h₁= 0.

Из построения плана сил определяем R₄₃ (рисунок 3.7):

, .

Находим действительную величину R₄₃:

R₄₃= [R₄₃] μ_Р = (Н).

Задача 4. Кинетостатический расчет структурной группы

II класса 4 вида

Исходные данные для расчета: G₃ – сила тяжести в Н; Р_И3 – сила инерции в Н; М_Ри3 = 0, М_Ри2 = 0 – моменты от сил инерции равны нулю, т.к. поступательные кинематические пары.

Определить: R₁₂, R₄₃ - реакции во внешних кинематических парах.

Решение. Внешние кинематические пары являются поступательными. Поэтому R₁₂, R₄₃ известны по направлению, а величина и точки их приложения неизвестны. Величины этих реакций определим из суммы сил всей структурной группы:

, .

Высчитываем масштабный коэффициент μ_Р по формуле (3.18). Строим план сил аналогично задаче 3 (рисунок 3.8) и из построения определяем неизвестные реакции.

R₁₂

Рисунок 3.8 - Структурная группа II класса 4 вида и ее план сил

Замеряем векторы полученных реакций в мм (показаны на рисунке пунктиром) и умножаем на μ_Р:

R₁₂= [R₁₂] μ_Р= (Н); R₄₃= [R₄₃] μ_Р= (Н).

Задача 5. Кинетостатический расчет структурной группы

II класса 5 вида

Определить: R₁₂, R₄₃ – реакции во внешних кинематических парах.

Решение выполняется аналогично Задаче 4. Так как масса кулисного камня не задается, то реакция во вращательной кинематической паре R₁₂ равна реакции в поступательной кинематической паре R₃₂, т.е. R₁₂= R₃₂.

Поэтому точка приложения и направление этих реакций известны, осталось определить величину. Строим план сил аналогично Задаче 4 (рисунок 3.9).

R₄₃