А. Периодическое помещение на счет одинаковых сумм

Фирме необходимо накопить на банковском счете сумму путем периодического – в конце каждого года – помещения одинаковой суммы. Платеж обозначим РМТ (сокращение от английского слова payment- выплата) – размер ежегодных (одинаковых) выплат. Требуется определить, какая сумма FV накопится через n лет.

Такой вид накоплений возникает, например, при реинвестировании купонных доходов по облигациям или дивидендов по привилегированным акциям.

Особенностью данного вида накопления является то, что начиная со второго периода и далее, проценты начисляются как на общую сумму помещенных вкладов, так и на накопленные за предыдущие периоды проценты. Тогда в конце первого года (первая выплата) на счете будет сумма

FV₁ = PMT

Спустя год (в конце второго года) эта сумма вырастет в 1+i раз и к ней прибавится вторая выплата. Таким образом, в конце второго года на счете будет сумма

FV₂ = PMT(1+i)+PMT.

Правая часть уравнения представляет собой сумму геометрической прогрессии. Путем определенных преобразований получим:

По этой формуле мы определяем величину суммы, накопленной на счете через n лет.

Пример 6.10000 руб. ежегодно помещаются на банковский счет с начислением 12% годовых в течение 5 лет. Какова будет сумма средств на счете?

FV= 10000 (1+0,12)⁵ – 1/0,12 = 63530 руб.

Пример 7.Ежегодный доход от аренды недвижимости в 150000 руб. инвестируется посредством помещения на банковский счет под 10% годовых в течение 3 лет. Какая сумма накопится на счете в результате инвестирования?

FV =150000(1+0,1)³-1/0,1 =496500 руб.