Тема 4. Дисконтирование денежных потоков

Временная ценность денежных вложений относится к одной из основных концепций, используемых в инвестиционном анализе. Необходимость учета временного фактора заставляет особое вни­мание уделять оценке базовых финансовых показателей. Разность в оценке текущих денежных средств и той же их суммы в буду­щем может быть вызвана:

- негативным воздействием инфляции, в связи с чем происхо­дит уменьшение покупательной способности денег;

- возможностью альтернативного вложения денежных средств и их реинвестирования в будущем (фактор упущенной выгоды);

- ростом риска, связанного с вероятностью невозврата инвестированных средств (чем длительнее срок вложения капитала, тем выше степень риска);

- потребительскими предпочтениями (лучше получить мень­ше доход в ближайшем периоде, чем ожидать большее, но в отдаленной перспективе).

В планируемом периоде анализ предстоящей реализации раз­личного вида инвестиционных проектов может осуществляться по двум противоположным направлениям. С одной стороны, определяется будущая стоимостная оценка первоначальной ве­личины инвестиций и доходов (дивидендов, процентов, прибы­ли, денежных потоков и пр.), полученных в результате осуще­ствления этих капиталовложений. С другой стороны, приращенные в ходе инвестирования денежные средства оцениваются с позиции их текущей (настоящей) стоимости. В соответствии с этим в финансово-инвестиционном анализе используются операции дисконтирования и наращения капитала. Принципиальная схе­ма инвестиционного анализа, осуществляемого с учетом времен­ной ценности денежных вложений, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема проведения инвестиционного анализа с использованием операций наращений и дисконтирования капитала

При разработке оптимальных финансовых решений в опре­деленных ситуациях требуется проведение оценки будущей сто­имости инвестированных денежных средств. Нахождение будущей стоимости денежных средств по истечении одного периода времени и при известном значении темпа их прироста осуществ­ляется по следующей формуле:

FV₁ = PV + PV*r = PV(1+r),

где FV₁ — будущая стоимость денежных средств в конце первого периода инвестирования (t + 1), тыс. руб.;

PV— первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени (t = 0), тыс. руб.;

r — темп прироста денежных средств, коэф.

Процесс, в котором при заданных значениях PV и r необ­ходимо найти величину будущей стоимости инвестированных средств к концу определенного периода времени (FV), называется операцией наращения. В практике инвестиционного анализа «темп прироста» денежных средств принято называть «процентом», «ставкой процента» или «нормой рентабельности», а первоначальную сумму денежных средств — «текущей стоимостью» (PV).

Из предыдущей зависимости FV₁ от PV темп прироста денеж­ных средств исчисляется по формуле

Оценка будущей стоимости денежных вложений, инвестиро­ванных на срок более одного периода времени, несколько более сложная задача. Ответ на вопрос, какой будет будущая стоимость денежных средств в n-й период времени, зависит от того, простой или сложный процент будет применяться в расчетах. Использо­вание простого процента (simple interest) свидетельствует о том, что инвестор будет получать доход (наращивать капитал) толь­ко с принципиальной суммы начальных инвестиций в течение всего срока реализации проекта. В противоположность данному подходу использование сложного процента (compound interest) свидетельствует о том, что полученный доход (проценты, диви­денды или пр.) периодически добавляется к сумме начальной инвестиции, в результате помимо первоначальной суммы денеж­ных средств процент берется также из накопленной в предыду­щих периодах суммы процентных платежей или любого друго­го вида доходов. В математическом исчислении операция нара­щения с использованием сложных процентов к концу второго периода реализации проекта определяется по формуле

FV₂ = PV(1 +r)(l + r) = PV(1 + r)².

В конце n-го периода времени будущая стоимость денежных средств (FV_n) исчисляется по следующей формуле:

FV_n = PV (1 + r)ⁿ.

Данная формула расчета FV_n является базовой в инвестици­онном анализе. Для облегчения процедуры нахождения пока­зателя FV_n предварительно рассчитывается величина множителя (1 + r)ⁿ при различных значениях r и п. В этом случае FV_n определяется по формуле

FV_n = PV*FVIF_{r, n},

где FVIF r, n — фактор (множитель) будущей стоимости денежных вложений, коэф.

В инвестиционном анализе под стандартным временным интервалом принято рассматривать один год. В случае когда дополнительно оговаривается частота выплаты процентов по вло­женным средствам в течение года, формула расчета будущей стоимости инвестированного капитала может быть представлена в следующем виде:

где r — годовая процентная ставка, коэф.; т — количество начислений в году, един.; п — срок вложения денежных средств, год.

Начисление процентов (дивидендов или др.) может осуще­ствляться ежедневно, ежемесячно, поквартально, раз в полуго­дие и раз в год. Характерно, что чем больше количество раз в течение года будут начисляться проценты, тем больше будет FV в конце n-го периода времени. Для целей анализа отношение r/m принято рассматривать в качестве процентной ставки, а произве­дение п*т — в качестве срока инвестирования. Этот случай со­ответствует следующей экономической ситуации.

Коммерческая организация приняла решение инвестировать на пятилетний срок свободные денежные средства в размере 30 тыс. руб. Имеются три альтернативных варианта вложений. По первому варианту средства вносятся на депозитный счет банка с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 20% го­довых. По второму варианту средства передаются сторонней орга­низации в качестве займа, при этом на переданную в долг сумму ежегодно начисляется 25%. По третьему варианту средства поме­щаются на депозитный счет коммерческого банка с начислением сложных процентов по ставке 16% годовых ежеквартально. Если не учитывать уровень риска, наилучший вариант вложения де­нежных средств может быть определен при помощи показателя FV_n. По варианту I: FV_n = 30 тыс. руб. * (1 + 0,2)⁵ = 74,7 тыс. руб. По варианту II: FV_n = 30 тыс. руб. + 5*(30 тыс. руб.*0,25) = = 67,5 тыс. руб. По варианту III: FV_n = 30 тыс. руб. * (1 + 0,16/4)^5*4 = = 65,7 тыс. руб. В данных условиях первый вариант более пред­почтителен для предприятия.

Наращение денежных средств имеет свое максимальное (пре­дельное) значение, когда интервал наращения становится беско­нечно малым (количество начислений в году стремится к бесконечности). В этом случае показатель FV_n определяется по формуле

FV_n = PV*е^r*n,

где е — трансцендентное число е, равное 2,718281... (постоянная величина).

В ходе анализа эффективности двух или более инвестиций с различными интервалами наращения капитала необходимо ис­пользовать обобщающий финансовый показатель, позволяющий проводить их объективную сравнительную оценку. Таким пока­зателем является эффективная годовая процентная ставка (EAR), рассчитываемая по формуле

В финансовых расчетах часто возникает потребность в оценке текущей стоимости будущих денежных потоков (PV). Данного рода процедуры осуществляются с целью определения ценности будущих поступлений от реализации того или иного проекта с позиции текущего момента времени. Процесс конвертирования планируемых к получению в предстоящих периодах времени де­нежных потоков в их текущую стоимость называется операцией дисконтирования. Процентная ставка, используемая в подсчете PV, называется дисконтной ставкой. Показатель текущей стоимости рассчитывается по формуле

Отношение 1/(1 + r)ⁿ известно как фактор (множитель) теку­щей стоимости (PVIF_r,n). Формула расчета PV уравнивает, с точки зрения инвестора, ценность денежных средств сегодня и ожидаемого к получению денежного потока в будущем.

Как и в случае с наращением капитала, для оптимального принятия финансовых решений чрезвычайно важно знать и учитывать в анализе временной интервал дисконтирования. Если начисление процентов планируется (или произошло) более од­ного раза в год, формулу для нахождения PV необходимо пред­ставить в следующем виде:

Возможности практического использования показателя PV раскрываются в различных экономических ситуациях, когда воз­никает необходимость обоснования финансово-инвестиционных решений с учетом временной ценности денежных вложений. Одна из типичных ситуаций в инвестиционной деятельности хозяйству­ющих субъектов представлена ниже.

Коммерческая организация планирует приобрести помещения под склад и офис. Эксперты оценивают будущую стоимость не­движимости в размере 10 млн. руб. По банковским депозитным счетам установлены ставки в размере 32% с ежегодным начисле­нием сложных процентов и 28% с ежеквартальным начислением сложных процентов. При помощи показателя PV можно определить, какую сумму средств необходимо поместить на банковский депозитный счет, чтобы через два года получить достаточную сумму для покупки недвижимости. Расчет оптимального вариан­та инвестирования осуществляется следующим образом: в пер­вом случае PV = 10 млн .руб. * (1/[1 + 0,32]²) = 5,739 млн. руб.; во втором случае PV = 10 млн руб. * (1/[1 + 0,28/4]²*⁴) = 5,82 млн. руб. Очевидно, что более выгодным для предприятия является вложе­ние меньшей суммы средств, т.е. первый вариант.

При заданной величине дисконтной ставки текущая стоимость денежных потоков будет достигать своего минимально возмож­ного значения при непрерывном дисконтировании. В этом слу­чае (когда ) текущая стоимость исчисляется по формуле

FV_n = PV*е^-r*n

На практике встречается ситуация, когда необходимо оценить денежные потоки, произведенные инвестицией в различные пе­риоды времени. В этой связи одной из важных задач, встречающихся перед специалистами в области инвестиционного анали­за, является оценка аннуитета.

Аннуитет представляет собой равные по величине денежные потоки, возникающие в каждом периоде определенного временно­го интервала. Примером аннуитета могут служить периодичес­кая выплата процентов по заемным средствам финансирования, купонного дохода по облигациям, перечисление арендной пла­ты и пр. Поступления и выбытия средств могут происходить как в начале (обязательный аннуитет), так и в конце каждого конк­ретного периода (обыкновенный или отложенный аннуитет). В практике финансовых расчетов наиболее часто используется обыкновенный аннуитет. Будущая стоимость обыкновенного аннуи­тета (FVA_n) продолжающегося в течение п периодов определяет­ся по следующей формуле:

где Р — периодические поступления или выбытия равных по величине денежных средств, тыс. руб.;

FVIFA_r,n — фактор (множитель) будущей стоимости обыкновенного аннуитета, коэф.

Множитель FVIFA_rn может быть рассчитан по следующей формуле:

Данный показатель отражает будущую стоимость одной денежной единицы в конце срока реализации инвестиционного проекта.

Порядок исчисления FVA,, рассмотрен на рис. 2.

Рис. 2. Схема подсчета будущей стоимости обыкновенного аннуитета

Компания ABC планирует через 5 лет осуществить замену ведущего оборудования. Предполагается, что инвестиционные затраты составят 2110 тыс. руб. Чтобы накопить необходимую сумму средств, предприятие из прибыли, остающейся в его рас­поряжении, ежегодно перечисляет средства на депозитный счет банка. Ставки по депозитным счетам в различных банках состав­ляют 24 и 32% (с начислением процентов раз в год). Чтобы опре­делить величину ежегодных отчислений, необходимо использо­вать формулу будущей стоимости обыкновенного аннуитета. По первому варианту (при r - 24%) Р = 2110 тыс. руб. / FVIFA_24,5 = 262,2 тыс. руб. По второму варианту (при r – 32%) Р = 2110 тыс. руб. / FVIFA_32,5 = 224,5 тыс. руб.

Текущая стоимость аннуитета (PVA_n) равна сумме денежных средств, дисконтированных индивидуально по каждому периоду времени. Для оценки PVA_n используется следующая формула:

где PVIFA_rn — фактор (множитель) текущей стоимости обыкновенного аннуитета, коэф.

PVIFA_r,n исчисляется по формуле

Значение PVIFA_r,n характеризует текущую стоимость одина­кового по величине денежного потока (в размере одной денеж­ной единицы), регулярно возникающего на протяжении уста­новленного срока (n) с определенной нормой доходности (r) на вложенные средства.

Применение формулы текущей стоимости аннуитета в инвести­ционном анализе можно проиллюстрировать следующим примером.

Фирма «Апекс» приобретает новое компьютерное оборудо­вание за 25,3 тыс. руб., при этом планируется в течение ближай­ших 5 лет ежегодно получать экономию затрат по ведению бухгалтерского учета в размере 10 тыс. руб. Средние ставки по бан­ковским депозитам составляют 35% годовых. Чтобы оценить целесообразность данной инвестиции, необходимо рентабель­ность инвестиции сравнить с альтернативными возможностями вложения средств (в нашем случае речь идет о банковском депо­зите). Искомый показатель рентабельности можно найти при помощи фактора текущей стоимости аннуитета, а именно:

PVIFAr,₅ = 25,3 тыс. руб. / 10 тыс. руб. = 2,53.

При стандартных значениях PVIFA_r,n рен­табельность инвестиции составит 28%. Отсюда следует, что эко­номически более целесообразным будет вложение этой же сум­мы средств на депозитный счет банка.

Необходимо помнить, что расчет показателей FVA_n и PVA_n, основанный на схеме начисления сложных процентов, не допус­кает изъятия полученных денежных средств до окончания срока действия аннуитета.

При известных значениях PVA_n и PVIFA_r,n величина Р опре­деляется по формуле

Схема проведения оценки текущей стоимости обыкновенно­го аннуитета представлена на рис. 3.

Рис. 3. Схема подсчета текущей стоимости обыкновенного аннуитета

Формула расчета PVA_n может быть эффективно использована для выделения процентных платежей и суммы основного долга из общей величины средств, идущих на погашение долгосрочных или краткосрочных обязательств. Например, организация получает банковский кредит в размере 150 млн руб. на пятилетний срок с уплатой 10%, начисляемых ежегодно. При этом по­гашение кредита и процентных платежей осуществляется равны­ми взносами в течение пяти лет, начиная с конца первого года. Расчет ежегодных платежей по банковскому кредиту (Р) осуще­ствляется с использованием формулы текущей стоимости анну­итета: Р = 150 млн. руб. / PVIFA_l0,₅ = 150 млн руб. / 3,7908 = 39,6 млн руб. В дальнейшем выделение из общей суммы Р процен­тных и принципиальных платежей можно провести в аналити­ческой табл. 1.

Таблица 1. Размер ежегодных платежей по банковскому кредиту

Если интервал дисконтирования или частота начисления про­центов для аннуитета меньше одного года (в качестве примера можно привести выплату процентов по облигациям), формулы для нахождения FVA_n и PVA_n должны предстать в следующем виде:

FVA_n,m = P*FVIFA_r,_n,_m

и соответственно для текущей стоимости обыкновенного анну­итета:

PVA_n,_m = P*PVIFA_r,n,m.

При этом соблюдаются следующие равенства:

FVIFA_r,n,m = FVIFA_r/m,n*m

и соответственно

PVIFA_r,n,m = PVIFA_r/m,_n*m

В качестве практического примера использования формулы текущей стоимости аннуитета с многократным начислением процентов в течение года можно представить ситуацию с выбо­ром наилучшего варианта выплаты арендных платежей. По ва­рианту А фирма, заключающая двухлетний договор аренды, ежемесячно выплачивает 32 тыс. руб., по варианту В платежи производятся раз в год в размере 384 тыс. руб. В качестве ре­левантной процентной ставки используется годовая ставка ин­фляции, равная 12%. По варианту A: PVA₂ = 32 тыс. руб. * PVIFA _12,2,12 = 32 тыс. руб. * PVIFA_1,24 = 32 тыс. руб. * 21,2434 = 679,8 тыс. руб. По варианту В: PVA₂ = 384 тыс. руб. * PVIFA_12,2 = 384 тыс. руб. * 1,6901 = 649,0 тыс. руб. Для данного предприятия экономически более выгодны условия с однократным в течение года перечислением арендных платежей.

Для того чтобы определить целесообразность приобретения обыкновенного аннуитета с необозримо долгим сроком получе­ния денежных поступлений, в частности при подсчете дохода по привилегированным акциям, в практике инвестиционного ана­лиза используется следующая формула:

где PVA^* — текущая стоимость бессрочного (неопределенно длительного по времени) обыкновенного аннуитета, тыс. руб.

В практической деятельности коммерческих организаций воз­можна ситуация, когда поступления денежных средств проис­ходят в начале каждого периода (например, лизинговые пла­тежи).

Последовательность определения будущей стоимости обяза­тельного аннуитета представлена на рис. 4.

Рис. 4. Схема подсчета будущей стоимости обязательного аннуитета

В математическом исчислении показатель будущей стоимости обязательного аннуитета определяется по формуле

FVAD_n = P*FVIFA_r,n*(1+r).

Последовательность нахождения текущей стоимости обяза­тельного аннуитета представлена на рис. 5.

Рис. 5. Последовательность расчета текущей стоимости обязательного аннуитета

В инвестиционной деятельности большинства компаний час­то встречаются не эквивалентные между собой денежные потоки (получение дивидендов по обыкновенным акциям, поступление выручки от реализации продукции и пр.). В связи с этим перед финансовыми аналитиками нередко возникает проблема опреде­ления временной ценности неравных денежных потоков.

Текущая стоимость всей совокупности будущих денежных потоков равна сумме текущих стоимостей ее индивидуальных компонентов. Согласно этому правилу текущая стоимость поступления неравных денежных потоков за п периодов времени определяется по формуле

где CF_t — денежный поток в период времени t, тыс. руб.

Вышеприведенное выражение называется формулой дискон­тированного денежного потока (DCF) и часто используется в финансовых расчетах.

Важным направлением инвестиционного анализа является оценка воздействия инфляции на ход реализации инвестицион­ных решений и ее взаимодействие с процентными ставками. Агрегированный индекс цен, рассчитываемый через товарообороты всей номенклатуры товаров, определяется по формуле

где р₁, p₀ — соответственно фактическая (прогнозируемая) цена в отчетном периоде и фактическая цена в базисном периоде, тыс. руб.; q₁ — объем реализованной продукции по конкретной товарной группе, нат. ед. изм.

Основываясь на определении эффективной годовой процент­ной ставки (EAR), годовую величину инфляции рассчитываем по формуле

где i_a — ожидаемая годовая ставка инфляции, %;

i_m — ставка инфляции за период (неделю, декаду, месяц и пр.), коэф.

Например, зная величину недельного темпа инфляции (см. российский еженедельник «Эксперт»: раздел «Индикаторы финан­сового рынка России») за период с 04.05 по 10.05.2000 г., равную 0,4%, можно определить текущую годовую ставку инфляции. Го­довая ставка инфляции, рассчитанная по текущим недельным дан­ным о росте цен, составит 23,07% ([1 + 0,004]⁵² — 1]*100).

В инвестиционном анализе часто используется ожидаемая в будущем инфляционная ставка, при этом рассчитывается ее сред­няя величина за весь срок реализации инвестиционного проекта (или обращения ценной бумаги). Расчет данного показателя ре­комендуется осуществлять с использованием формулы средней геометрической

где — средняя геометрическая инфляционная ставка за п периодов вре­мени, коэф.

В продолжение обзора показателей, учитывающих времен­ную ценность денежных вложений, необходимо обратить вни­мание на формулу Фишера, которая объединяет основные фи­нансовые переменные:

- реальную процентную ставку, не содержащую в себе фак­тор инфляции (r);

- номинальную процентную ставку, рассчитанную с учетом инфляции (r^п);

- ожидаемую ставку инфляции (i).

Зависимость между процентными ставками и ожидаемой ин­фляцией может быть представлена следующим выражением:

(1 + rⁿ) = (1 + r)(1 + i).

Из данной зависимости номинальная процентная ставка рас­считывается по формуле

rⁿ = r + i+r*i.

В условиях низкой инфляции на практике пренебрегают зна­чением r*i, используя при этом упрощенную формулу расчета номинальной процентной ставки rⁿ = r + i.

В качестве информационной базы инвестиционного анализа часто используются исторические данные и материалы, собран­ные на основе текущей информации. Очевидно, что если базовые переменные в будущих периодах времени изменят свои пред­полагаемые значения, то соответственно произойдет изменение ожидаемой эффективности инвестиционных операций. Таким об­разом, можно сделать следующие выводы:

1. Цена заемного капитала уже включает в себя ожидаемую инфляцию.

2. Заемщики капитала будут в наибольшей выгоде, если фактический уровень инфляции больше, чем ожидаемый рост цен, и соответственно планируемая ими эффективность от про­ведения финансово-инвестиционных операций будет значитель­но ниже, если фактическая инфляция ниже ее ожидаемого уровня.

3. Величина реальной процентной ставки воздействует на результативность осуществления финансовых операций. Чем выше значение r, тем ниже текущая стоимость получаемых в будущем доходов (процентов, дивидендов и пр.), и наоборот, чем ниже значение r, тем большую ценность имеют будущие результаты с позиции их текущей стоимости.

Процедуры дисконтирования и начисления сложных процен­тов широко используются в банковских, пенсионных и страхо­вых операциях.

Осуществление инвестиционного анализа неразрывно связа­но с учетом временных параметров реализации долговременных капиталовложений. В ходе подготовки обобщающих показате­лей эффективности долгосрочных инвестиций (проекта) процеду­ры дисконтирования применяются в расчете чистой текущей сто­имости (NPV), внутренней нормы рентабельности (IRR), индек­са доходности (РI) и др. В связи с этим процедуры анализа проектной дисконтной ставки выступают в качестве базовых ме­роприятий, осуществление которых во многом предопределяет степень объективности результатов оценки эффективности долго­срочных инвестиций.

Выводы

Временная ценность денежных вложений относится к одной из основных концепций, используемых в инвестиционном анализе. Необходимость учета временного фактора заставляет особое вни­мание уделять оценке базовых финансовых показателей.

Разность в оценке текущих денежных средств и той же их суммы в будущем может быть вызвана негативным воздействием инфляции, возможностью альтернативного вложения денежных средств, ростом риска, связанного с вероятностью невозврата инвестированных средств, потребительскими предпочтениями.

Нахождение будущей стоимости денежных средств возможно при наличии информации о следующих переменных: сроке вложения (количестве периодов начислени процентов), темпе прироста (процентной ставке), первоначальной величине средств. Нахождение текущей стоимости денежных средств осуществляется аналогично из их будущей стоимости.

Использо­вание простого процента (simple interest) свидетельствует о том, что инвестор будет получать доход (наращивать капитал) толь­ко с принципиальной суммы начальных инвестиций в течение всего срока реализации проекта. В противоположность данному подходу использование сложного процента (compound interest) свидетельствует о том, что полученный доход (проценты, диви­денды или пр.) периодически добавляется к сумме начальной инвестиции, в результате помимо первоначальной суммы денеж­ных средств процент берется также из накопленной в предыду­щих периодах суммы процентных платежей или любого друго­го вида доходов.

Аннуитетпредставляет собой равные по величине денежные потоки, возникающие в каждом периоде определенного временно­го интервала. Примером аннуитета могут служить периодичес­кая выплата процентов по заемным средствам финансирования, купонного дохода по облигациям, перечисление арендной пла­ты и пр. Поступления и выбытия средств могут происходить как в начале (обязательный аннуитет), так и в конце каждого конк­ретного периода (обыкновенный или отложенный аннуитет). В практике финансовых расчетов наиболее часто используется обыкновенный аннуитет.

Вопросы для самоконтроля

1. Назовите факторы, определяющие разность в оценке текущих денежных средств и их стоимости в будущем.

2. Опишите процедуру наращения денежных потоков. Что означает использование «простого» и «процента» процента.

3. Опишите процедуру дисконтирования денежных потоков. Как изменится алгоритм расчета, если начисления производятся несколько раз в течение года?

4. Приведите пример ситуаций, когда употребляются операции наращения и дисконтирования.

5. В чем смысл расчета показателя эффективной годовой процентной ставки? Как выглядит формула будущей стоимости денежных потоков при непрерывном дисконтировании?

6. Дайте определение аннуитета. Как рассчитывается текущая и будущая стоимость аннуитета?

7. Приведите примеры ситуаций, когда используются текущая и будущая стоимость аннуитета.

8. Что такое формула Фишера?