Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электромагнитного поля

Одним из важнейших результатов, полученных Максвеллом, явилось доказательство волновой природы электромагнитного поля. Уже упоминалось о том, что изменение во времени электрического поля приводит к возникновению магнитного поля, неоднородного в пространстве, и наоборот. Физическая картина здесь напоминает процесс обмена энергией между электрическим и магнитным полем в обычном колебательном контуре. Поэтому можно ожидать, что электромагнитный процесс в самом общем случае представляет собой также некоторые колебания. Принципиальная разница здесь заключается в том, что колебания электромагнитного поля должны рассматриваться одновременно во всех точках пространства. В физике колебательное движение непрерывной среды принято называть волновым процессом.

Докажем волновой характер электромагнитного поля математически, сведя уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс.

Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой области пространства, где плотность зарядов отсутствует, т.е. . Плотность сторонних электрических токов также предполагается равной нулю.

Выпишем первые два уравнения из общей системы уравнений Максвелла для комплексных амплитуд в виде:

Эти два уравнения могут быть сведены к одному. Для этого применим операцию rot к левой и правой частям второго уравнения, а затем выразим полученную правую часть через второе уравнение:

Здесь − в общем случае комплексное число, являющееся, как будет показано, постоянной распространения электромагнитной волны. В литературе для величины можно встретить также названия фазовая постоянная или волновое число.

Дальнейшее преобразование формулы можно осуществить, если воспользоваться известным тождеством векторного анализа:

.

Здесь (набла квадрат) − векторный дифференциальный оператор второго порядка, конкретная форма которого полностью определяется той координатной системой, в которой производятся вычисления. Для декартовой системы координат действие оператора сводится к тому, что к каждой из проекций векторного поля применяется оператор Лапласа

.

Если воспользоваться законом Гаусса, который в соответствии с принятым условием обеспечивает , то уравнение может быть переписано в следующем простом виде:

Пользуясь симметрией уравнений Максвелла, совершенно аналогично получаем также уравнение относительно векторного поля :

.

Эти два уравнения в математической физике носят название уравнений Гельмгольца. Математически можно показать, что эти уравнения описывают стационарные волновые процессы, т.е., распространение в пространстве волн с некоторой постоянной частотой.

Таким образом, получен фундаментальный вывод теории Максвелла − переменность во времени электрических или магнитных полей приводит к распространению в пространстве электромагнитных волн.

В координатной форме уравнения Гельмгольца записываются следующим образом

или

.

Решение такой системы значительно упрощается в тех частных случаях, когда поле не имеет каких-либо составляющих, например, , а также тогда, когда поле постоянно в каких-либо плоскостях, например .