Закон больших чисел. Принцип практической уверенности Если в определенных условиях вероятность события очень мала

пренебрегать в одном исследовании, называется уровнем значимости. В статистике обычно рекомендуется пользоваться уровнем значимости 0,05 при предварительных исследованиях и 0,01 при окончательных выводах.

Под законом больших чисел понимается совокупность положений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, выполняются определенные соотношения.

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше разности между единицей и дробью, числитель которой – дисперсия случайной величины , а знаменатель – квадрат

.

Теорема Чебышева

Если дисперсии попарно независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной , а число их достаточно велико, то как бы ни было мало положительное число , вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий меньше по абсолютной величине , будет как угодно близка к единице

.

Другими словами, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. На теореме Чебышева основан выборочный метод в статистике, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей генеральной совокупности исследуемых объектов.

Теорема Бернулли

Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико

.

Другими словами, частость приближается при большом числе испытаний к вероятности.

Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни человека на всевозможные сроки, имущества и др.) При планировании ассортимента товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел. Сумма конечного числа независимых нормально распределенных случайных величин распределена по нормальному закону.