Локальная теорема Лапласа
Если вероятность появления события 
в каждом испытании постоянна и равна 
(причем не близко к 0 и 1), то вероятность того, что событие в серии из 
независимых испытаний (где достаточно велико) появится ровно 
раз, определяется по приближенной формуле:
, 
,
где 
– функция вероятностей, 
– четная функция.
Значения функции находят по таблице (приложение 1). Для всех 
.
Интегральная теорема Лапласа
Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании не мала, то вероятность появления события в интервале от 
до 
раз определяется приближенной формулой
,
, 
.
Функция 
– нечетная. Значения функции 
находят по таблице (приложение 2). При 
.
Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна. Вероятность того, что в испытаниях относительная частота появления события отклонится от вероятности не более, чем на 
, определяется приближенной формулой
.
Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых испытаний. Числопоявлений событияв независимых испытаниях 
называется наивероятнейшим, если вероятность появления события это число раз является наибольшей.
.
Если:
§ 
– целое число, то 
,
§ 
– дробное число, то существует единственное число 
, равное целой части 
,
§ – целое число, то существует два наивероятнейших числа, равные соответственно левой и правой части неравенства.
| Пример 11. | Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность 3-х попаданий при 5-ти выстрелах. |
Решение.
По формуле Бернулли определим искомую вероятность
.
| Пример 12. | Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг. |
Решение.
По условию 
.
Используем формулу Пуассона.
,
.
| Пример 13. | 75% всей продукции соответствует требованиям высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 150 изделий: а) 100 изделий окажется высшего сорта; б) не менее 110 изделий окажутся высшего сорта. |
Решение.
а) 
.
Событие – появление изделия высшего сорта.
.
По таблице (приложение 1) находим:
,
тогда
.
б) 
.
,
,
.
Значит
.
| Пример 14. | Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота отклониться от 0,8 не более, чем на 0,04. |
Решение.
.
.
| Пример 15. | Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Сколько необходимо проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что частость отклониться от вероятности не более, чем на 0,02. |
Решение.
.
, 
,
по таблице 
,
, 
, 
.
Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 1165;