Лекция 10. Атомная физика

План лекции

1. Эффект Комптона.
2. Линейчатые спектры атомов. Постулаты Бора. Принцип соответствия

Тезисы

Наиболее полно корпускулярные свойст­ва света проявляются в эффекте Комп­тона. Опыты показали, что разность Dl=l'-l не зависит от длины волны l падающего излучения и природы рассеивающего ве­щества, а определяется только величиной угла рассеяния q: Dl =l'-l= 2l_Csin²(q/2), где l' — длина волны рассеянного излуче­ния, l_C — комптоновская длина волны (при рассеянии фотона на электроне l_C= 2,426 пм).

Эффектом Комптонаназывается упру­гое рассеяние коротковолнового электро­магнитного излучения (рентгеновского и g-излучений) на свободных (или сла­босвязанных) электронах вещества, со­провождающееся увеличением длины во­лны. Этот эффект не укладывается в рам­ки волновой теории, согласно которой длина волны при рассеянии изменяться не должна: под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает рассе­янные волны той же частоты.

Объяснение эффекта Комптона дано на основе квантовых представлений о при­роде света. Если считать, как это делает квантовая теория, что излучение имеет корпускулярную природу, т. е. представля­ет собой поток фотонов, то эффект Комп­тона — результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества (для легких ато­мов электроны слабо связаны с ядрами атомов, поэтому их можно считать сво­бодными). В процессе этого столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и импульса в соответствии с за­конами их сохранения.

Наличие в составе рассеянного излуче­ния «несмещенной» линии (излучения пер­воначальной длины волны) можно объяс­нить следующим образом. При рассмотре­нии механизма рассеяния предполагалось, что фотон соударяется лишь со свободным электроном. Однако если электрон сильно связан с атомом, как это имеет место для внутренних электронов (особенно в тяже­лых атомах), то фотон обменивается энер­гией и импульсом с атомом в целом. Так как масса атома по сравнению с массой электрона очень велика, то атому переда­ется лишь ничтожная часть энергии фото­на. Поэтому в данном случае длина волны l' рассеянного излучения практически не будет отличаться от длины волны l падаю­щего излучения.

Из приведенных рассуждений следует также, что эффект Комптона не может наблюдаться в видимой области спектра, поскольку энергия фотона видимого света сравнима с энергией связи электрона с атомом, при этом даже внешний элект­рон нельзя считать свободным.

Эффект Комптона наблюдается не только на электронах, но и на других заряженных частицах, например прото­нах, однако из-за большой массы протона его отдача «просматривается» лишь при рассеянии фотонов очень высоких энергий.

Как эффект Комптона, так и фотоэф­фект на основе квантовых представлений обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором — поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободным электроном, а фото­эффект — со связанными электронами. Можно показать, что при столкновении фотона со свободным электроном не мо­жет произойти поглощения фотона, так как это находится в противоречии с за­конами сохранения импульса и энергии. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электронами может наблю­даться только их рассеяние, т. е. эффект Комптона.

2.Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряжен­ный положительным зарядом шар радиу­сом порядка 10^{-10 м, внутри которого око­ло своих положений равновесия колеблют­ся электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом ней­трален. Через несколько лет было доказа­но, что представление о непрерывно рас­пределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.}

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английско­го физика Э. Резерфорда по рассеянию a-частиц в веществе. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положитель­но заряженными частицами с зарядом 2е и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Пучки a-частиц обла­дают высокой монохроматичностью. Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе (через золотую фоль­гу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незна­чительные отклонения, но некоторые a-частицы (примерно одна из 20 000) рез­ко отклоняются от первоначального на­правления. Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тя­желых и быстрых частиц, как a-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обус­ловлено их взаимодействием с положи­тельным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие a-частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положитель­ный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.

На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома.Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z — порядковый но­мер элемента в системе Менделеева, е — .элементарный заряд), размер 10^-15— 10^{-14 м и массу, практически равную мас­се атома, в области с линейными размера­ми порядка 10-10 м по замкнутым орби­там движутся электроны, образуя элек­тронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммар­ному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться} Z электронов.

Для простоты предположим, что элект­рон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. При этом кулоновская сила взаимодействия между ядром и элек­троном сообщает электрону центростреми­тельное ускорение. Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружно­сти под действием кулоновской силы, имеет вид

где т_е и v — масса и скорость электрона на орбите радиуса r, e₀ — электрическая постоянная.

Уравнение (208.1) содержит два не­известных: r и v. Следовательно, су­ществует бесчисленное множество значе­ний радиуса и соответствующих ему зна­чений скорости (а значит, и энергии), удовлетворяющих этому уравнению. По­этому величины r, v (следовательно, и Е) могут меняться непрерывно, т. е. может испускаться любая, а не вполне опреде­ленная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными. В дей­ствительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Из вы­ражения (208.1) следует, что при r»10^{-10 м скорость движения электронов} v»10⁶ м/с, а ускорение v²/r=10²²м/с². Согласно электродинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие это­го непрерывно терять энергию. В резуль­тате электроны будут приближаться к яд­ру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что опять-таки противоречит действительности.

Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху: модель Томсона была опроверг­нута опытами Резерфорда, ядерная же модель оказалась неустойчивой электро­динамически и противоречила опытным данным. Преодоление возникших трудно­стей потребовало создания качественно новой — квантовой — теории атома.

Первая попытка построить качественно новую — квантовую — теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором. Он поста­вил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности ли­нейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излуче­ния и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат ста­ционарных состояний):в атоме существу­ют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состоя­ниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома элек­трон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие ус­ловию

m_evr_n = nh (n=1, 2, 3, ...), (210.1)

где m_e — масса электрона, v — его ско­рость по n-й орбите радиуса r_n, h=h/(2p).

Второй постулат Бора (правило частот):при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излуча­ется (поглощается) один фотон с энер­гией

hn=E_n-E_m, (210.2)

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (E_n и E_m — со­ответственно энергии стационарных состо­яний атома до и после излучения (по­глощения)). При E_m<E_n происходит из­лучение фотона (переход атома из со­стояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электро­на с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при E_m>E_n — его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электро­на на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот v = = (E_n-E_m)/h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Теория Бора была крупным шагом в развитии атомной физики и явилась важ­ным этапом в создании квантовой меха­ники. Однако эта теория обладает внутрен­ними противоречиями (с одной стороны, применяет законы классической физики, а с другой — основывается на квантовых постулатах). Она рассмотрела спектры атома водорода и водородоподобных си­стем и вычислила частоты спектральных линий, однако не смогла объяснить их интенсивности и ответить на вопрос: по­чему совершаются те или иные переходы? Серьезным недостатком теории Бора была невозможность описания с ее помощью спектра атома гелия — одного из простей­ших атомов, непосредственно следующего за атомом водорода.

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем— систем, состоя­щих из ядра с зарядом Ze и одного элек­трона (например, ионы Не⁺, Li²⁺), а так­же теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение (208.1) m_ev²/r=Zе²/(4pe₀r²), предложен­ное Резерфордом, и уравнение (210.1), получим выражение для радиуса n-й ста­ционарной орбиты:

где n=1, 2, 3, ... . Из выражения (212.1) следует, что радиусы орбит растут про­порционально квадратам целых чисел.

Для атома водорода (Z=1) радиус первой орбиты электрона при n=1, на­зываемый первым боровским радиусом(а), равен 52,8 пм, что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов. Так как радиу­сы стационарных орбит измерить невоз­можно, то для проверки теории необходи­мо обратиться к таким величинам, которые могут быть измерены экспериментально. Такой величиной является энергия, из­лучаемая и поглощаемая атомами водо­рода. Энергия электро­на может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

Из формулы следует, что энер­гетические состояния атома образуют по­следовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения п. Целое число n, определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом.Энергетическое состояние с n=1 является основным (нормальным)со­стоянием; состояния с/г>1 являются воз­бужденными.Энергетический уровень, со­ответствующий основному состоянию ато­ма, называется основным (нормальным)уровнем; все остальные уровни являются возбужденными.

Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z=1) воз­можные уровни энергии, схематически представленные на рис. 294. Энергия ато­ма водорода с увеличением n возрастает (уменьшается ее отрицательная величи­на) и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению n=¥. Атом водорода обладает, таким об­разом, минимальной энергией (Е₁=-13,55 эВ) при n=1и максимальной (E₁=0) при n=¥ (при удалении элек­трона из атома). Следовательно, значение E_¥=0 соответствуетионизацииатома (отрыву от него электрона).

Согласно второму постулату Бора, при переходе атома водоро­да (Z=1) из стационарного состояния n с большей энергией в стационарное со­стояние m с меньшей энергией испускает­ся квант

откуда частота излучения

где R=m_ee⁴/(8h³e²₀).

Воспользовавшись при вычислении R современными значениями универсаль­ных постоянных, получим величину, со­впадающую с экспериментальным значе­нием постоянной Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода. Это совпадение убедительно доказывает правильность полученной Бором формулы для энергетических уровней водородоподобной системы.

Спектр поглощения атома водорода является линейчатым, но содержит только серию Лаймана. Он также объясняется теорией Бора. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии (стационарное состояние с наи­меньшей энергией при n=1), то при со­общении атомам извне определенной энер­гии могут наблюдаться лишь переходы атомов из основного состояния в возбуж­денные (возникает серия Лаймана).

Исследования спектров излучения разре­женных газов (т. е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ вполне определенный линей­чатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко рас­положенных линий. Самым изученным яв­ляется спектр наиболее простого атома — атома водорода.

Швейцарский ученый Бальмер подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома во­дорода в видимой области спектра:

где R'=1,10•10⁷ м^-1 — постоянная Ридберга.Так как v = c/l, то формула (209.1) может быть переписана для частот:

где R=R'с=3,29•10¹⁵ с^-1 также постоян­ная Ридберга.

Из выражений (209.1) и (209.2) вы­текает, что спектральные линии, отличаю­щиеся различными значениями n, образу­ют группу или серию линий, называемую серией Бальмера.С увеличением n линии серии сближаются; значение n=¥ опре­деляет границу серии,к которой со сторо­ны больших частот примыкает сплошной спектр.

В дальнейшем (в начале XX в.) в спектре атома водорода было обнаруже­но еще несколько серий. В ультрафиолето­вой области спектра находится серия Лаймана:

В инфракрасной области спектра были также обнаружены: серия Пашена